| dc.date.accessioned |
2012-10-04T08:49:04Z |
und |
| dc.date.accessioned |
2017-10-24T12:21:35Z |
|
| dc.date.available |
2012-10-04T08:49:04Z |
und |
| dc.date.available |
2017-10-24T12:21:35Z |
|
| dc.date.issued |
2012-10-04T08:49:04Z |
|
| dc.identifier.uri |
http://radr.hulib.helsinki.fi/handle/10138.1/1960 |
und |
| dc.identifier.uri |
http://hdl.handle.net/10138.1/1960 |
|
| dc.title |
Peiteavaruuksien luokittelu ja Seifertin-van Kampenin lause |
fi |
| ethesis.discipline |
Mathematics |
en |
| ethesis.discipline |
Matematiikka |
fi |
| ethesis.discipline |
Matematik |
sv |
| ethesis.discipline.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/44bc4f03-6035-4697-993b-cfc4cea667eb |
|
| ethesis.department.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/61364eb4-647a-40e2-8539-11c5c0af8dc2 |
|
| ethesis.department |
Institutionen för matematik och statistik |
sv |
| ethesis.department |
Department of Mathematics and Statistics |
en |
| ethesis.department |
Matematiikan ja tilastotieteen laitos |
fi |
| ethesis.faculty |
Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten |
sv |
| ethesis.faculty |
Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta |
fi |
| ethesis.faculty |
Faculty of Science |
en |
| ethesis.faculty.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/8d59209f-6614-4edd-9744-1ebdaf1d13ca |
|
| ethesis.university.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/50ae46d8-7ba9-4821-877c-c994c78b0d97 |
|
| ethesis.university |
Helsingfors universitet |
sv |
| ethesis.university |
University of Helsinki |
en |
| ethesis.university |
Helsingin yliopisto |
fi |
| dct.creator |
Björkqvist, Jan-Victor |
|
| dct.issued |
2012 |
|
| dct.language.ISO639-2 |
fin |
|
| dct.abstract |
Ensimmäisenä päätuloksena tutkielmassa luokitellaan yhtenäisten, lokaalisti polkuyhtenäisten ja semilokaalisti yhdesti yhtenäisten avaruuksien kaikki yhtenäiset peiteavaruudet isomorfiaa vaille. Ensin näytetään, että peiteavaruuden perusryhmän kuva peitekuvauksen indusoimassa homomorfismissa määrää peiteavaruuden isomorfiaa vaille. Peiteavaruuksien luokittelua varten määritellään kaksi ryhmän toimintaa. Koko peiteavaruudessa toimii peiteavaruuden automorfismiryhmä Aut( ̃ X, p), ja kantapisteen säikeessä p^{-1}(x_0) toimii lisäksi kanta-avaruuden perusryhmä π (X, x_0). Lisäksi osoitetaan, että yhdesti yhtenäisen peiteavaruuden tapauksessa nämä kaksi ryhmää ovat isomorfiset. Nyt jokainen perusryhmän aliryhmä H ≤ π (X,x_0) on isomorfinen automorfismiryhmän jonkun aliryhmän ̃H ≤ Aut( ̃Y,q) kanssa. Lopuksi osoitetaan, että aliryhmän ̃H toiminnan muodostama rata-avaruus on kanta-avaruuden peiteavaruus, ja että sen perusryhmän kuva peitekuvauksen indusoimassa homomorfismissa on täsmälleen aliryhmä H.
Toisena päätuloksena on Seifertin-van Kampenin lause. Lause kertoo että mikäli avaruus voidaan esittää kahden avoimen joukon yhdisteenä X = U_1 ∪ U_2 ja se täyttää alussa mainitut yhtenäisyysoletukset, niin sen perusryhmällä on tietty universaaliominaisuus. Tarkemmin, mikäli meillä on inkluusioiden indusoimat homomorfismit i_i_*: π (U_1 ∩ U_2) → π (U_i), j_i_*: π (U_i) → π (X) joille pätee j_1_* ◦ i_1_* = j_2_* ◦ i_2_*, sekä homomorfismit h_i: π (U_i) → G mielivaltaiselle ryhmälle G, niin on olemassa yksikäsitteinen homomorfismi h: π (X) → G joka täyttää ehdot h_1 = h ◦ j_1_* ja h_2 = h ◦ j_2_*.
Todistus nojaa G-peiteavaruuksien teoriaan. Perusideana on ensin näyttää, että mikäli G on mikä tahansa ryhmä, niin jokaista homomorfismia k: π (X) → G vastaa isomorfiaa vaille yksikäsitteinen avaruuden X G-peiteavaruus. Vastaavasti jokaista G-peiteavaruutta vastaa yksikäsitteinen homomorfismi perusryhmältä ryhmälle G. Ehto j_1_* ◦ i_1_* = j_2_* ◦ i_2_* tulee takaamaan, että avaruudelle X voidaan muodostaa G-peiteavaruus, jota vastaa haluttu yksikäsitteinen homomorfismi h: π (X) → G. Tämän jälkeen näytetään että homomorfismeja h_i ja h ◦ j_i_* vastaavat G-peiteavaruudet ovat isomorfiset, josta seuraa että h_i = h ◦ j_i_* kaikilla i ∈ {1,2 }.
Universaaliominaisuutta käyttäen voidaan muodostaa surjektiivinen ryhmähomomorfismi perusryhmien π (U_1) ja π (U_2) vapaalle tulolle Γ : π (X) → π (U_1) * π (U_2), jolloin saamme isomorfismin π (X) ∼ = π (U_1) * π (U_2)/Ker(Γ). Kuvauksen ydintä ei lasketa yleisessä tapauksessa, vaan tyydytään erikoistapaukseen, jolloin π (U_2)=0. Tällöin ydin on kuvajoukon Im(i_1_*) virittämä aliryhmä Ker(Γ) = 〈 Im(i_1_*)〉.
Lopuksi käytetään G-peiteavaruuksien teoriaa sekä Seifertin-van Kampenin lausetta perusryhmien laskemiseen. Tutkielmassa määritetään perusryhmät 1-monistoille S^1, S^1 V S^1, sekä 2-monistoille S^2, projektiiviselle tasolle, torukselle, Kleinin pullolle sekä Möbiuksen nauhalle. |
fi |
| dct.language |
fi |
|
| ethesis.language.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/languages/fin |
|
| ethesis.language |
Finnish |
en |
| ethesis.language |
suomi |
fi |
| ethesis.language |
finska |
sv |
| ethesis.thesistype |
pro gradu-avhandlingar |
sv |
| ethesis.thesistype |
pro gradu -tutkielmat |
fi |
| ethesis.thesistype |
master's thesis |
en |
| ethesis.thesistype.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/thesistypes/mastersthesis |
|
| dct.identifier.urn |
URN:NBN:fi-fe2017112251789 |
|
| dc.type.dcmitype |
Text |
|
