Tässä tutkielmassa tutustutaan Riemannin integraalin yleisempään muotoon Riemann-Stieltjesin integraalin, jota merkitään ∫_a^b fdα.Tämä integraali on järkevä, myös kun α ei ole derivoituva tai jopa kun α on epäjatkuva. Integraalin edut tulevat näkyviin nimenomaan, kun α on epäjatkuva. Sopivalla epäjatkuvan α valinnalla, jokainen päättyvä ja päättymätön summa voidaan ilmoittaa Riemann-Stieltjesin integraalina.
Tutkielmassa esitetään kaksi Riemann-Stieltjesin integraalin vaihtoehtoista määritelmää ja näiden pohjalta lukuisia ominaisuuksia. Ensimmäinen näistä määritelmistä pohjautuu summiin ja toinen ylä- ja alarajoihin. Kappaleessa 3 esitetyt ominaisuudet esitetään summiin perustuvaan määritelmään nojaten. Käsiteltäviä ominaisuuksia ovat lineaariset ja algebralliset ominaisuudet, osittaisintegrointi ja muuttujanvaihto. Lisäksi tutkitaan reduktiota Riemannin integraaliksi ja äärelliseksi summaksi sekä integraalin ominaisuuksia integraattorin ollessa paloittain määritelty. Kappaleen lopussa esitellään vielä Eulerin summakaava.
Kappaleessa 4 määritellään ylä- ja alasummat ja niiden avulla vastaavat integraalit. Kysymys tässä kohtaa onkin, milloin ylä- ja alaintegraalit ovat samat eli funktio on Riemann-Stieltjes -integroituva. Tähän kysymykseen liittyen todistetaan integroimiskriteeri, joka käsittelee sitä, milloin yläsummat tulevat mielivaltaisen lähelle alasummia, kun oletetaan ylä- ja alaintegraalien kohtaavan. Läheisesti tähän liittyy ylä- ja alasummien sekä integraalien vertailu.
Tutkielmassa käsitellään myös riittäviä ja välttämättömiä ehtoja integraalin olemassaololle. Tätä ennen määritellään, mitä tarkoitetaan rajoitetusti heilahtelevalla funktiolla. Lisäksi tutkitaan integraalin käyttäytymistä rajafunktioiden tapauksessa.
Tutkielmassa esitetään kaksi väliarvolausetta todistuksineen. Vaikka integraalia käsitellään monien erilaisten ongelmien yhteydessä, on tarkka arvo saatavilla vain muutamassa tapauksessa. Väliarvolauseet ovat hyödyllisiä nimenomaan, kun tehdään arvioita integraalin arvosta tällaisissa tapauksissa.
Näiden lisäksi esitetään integraalin sovelluksia ja esitetään geometrinen esitys Riemann-Stieltjesin integraalille. Sovelluksista todennäköisyyslaskentaan liittyy satunnaismuuttujan odotusarvon laskenta ja analyysiin Herglotzin lause sekä Bernsteinin lause.
