Tässä tutkielmassa esitellään algebrallisen ryhmän käsite sekä hieman tavallisesta poikkeava tapa ymmärtää permutaatioita. Työn tärkeimpinä kohtina voi pitää Caleyn lausetta, joka yhdistää permutaation ja ryhmän käsitteet, sekä p-ryhmän käsitettä. Työssä käsitellään myös pintapuolisesti suoraan tuloon liittyviä ryhmiä.
Varsinaisia esitietovaatimuksia työn ymmärtämiseksi ei ole, mutta tietynlainen matemaattinen yleissivistys on toivottavaa. Kenen tahansa kandidaattitasoisen matematiikan opiskelijan kuitenkin pitäisi pystyä ymmärtämään tämän tutkielman oleellinen sisältö.
Esitelmäni perustuu Joseph J. Rotmanin kirjaan An Introduction to the Theory of Groups [2]. Tukena olen käyttänyt Tauno Metsänkylän ja Marjatta Näätäsen teosta Algebra I [1]. Permutaatioita käsittelevässä luvussa olen tukeutunut Pekka Tuomisen Todennäköisyyslaskenta I- kirjaan [3].
Permutaatioita oli tutkittu jo aikaisemminkin, mutta ryhmien teorian tutkimuksen aloitti varsinaisesti Galois (1811-1832). 1800-luvun lopussa ryhmäteoriaa tutkittiin lähinnä kahdessa päähaarassa. Nämä päähaarat olivat algebralliset ryhmät, erityisesti Lien ryhmät, sekä äärelliset ryhmät. 1900-luvulla ilmaantui kuitenkin kolmas päähaara, äärettömät ryhmät. Nykyään ryhmät esiintyvät monilla matematiikan aloilla, esimerkiksi geometriassa, topologiassa ja logiikassa.
