Tässä tutkielmassa tarkastellaan Cantorin joukkoa ja sen soveltamista muutamiin matemaattisiin tarkoituksiin. Cantorin joukon määrittelyssä otetaan huomioon sen monet topologiset ominaisuudet. Tarkoituksena on muotoilla Cantorin joukkoon liittyvät matemaattiset erikoisuudet mahdollisimman ymmärrettävällä tavalla matematiikkaa vain vähän opiskelleelle.
Cantorin joukko on hämmentänyt matemaatikkoja sen ensimmäisestä esiintymisestä lähtien. Joukko muodostetaan vaiheittain poistamalla yksikkövälistä [0, 1] avoimia kolmanneksia. Prosessin ensimmäisessä vaiheessa välistä [0, 1] poistetaan väli (1/3, 2/3). Seuraavassa vaiheessa kahdesta välistä [0, 1/3] ja [2/3, 1] poistetaan jälleen niiden keskimmäiset kolmannekset eli välit (1/9, 2/9) ja (7/9, 8/9). Kun tätä prosessia jatketaan loputtomasti, välistä [0, 1] lopulta jäljelle jäävät pisteet muodostavat Cantorin joukon.
Cantorin joukkoon kuuluvat ainakin kaikkien poistettujen välien päätepisteet. Yhtenä joukon erikoisuutena on kuitenkin se, että siihen kuuluu vielä ylinumeroituvasti ääretön määrä pisteitä, jotka eivät ole poistettujen välien päätepisteitä. Tämän seurauksena myös Cantorin joukko on siis ylinumeroituvasti ääretön.
Topologiset ominaisuudet ovat Cantorin joukolla myös erikoisia. Voidaan osoittaa, että joukolla ei ole sisäpisteitä eli pisteitä, joilla olisi jokin Cantorin joukkoon kuuluva ympäristö. Lisäksi voidaan osoittaa, että jokainen Cantorin joukon piste on kasautumispiste eli piste, jonka jokaisessa ympäristössä on jokin toinen Cantorin joukon piste.
Pirunporrasfunktionakin tunnetun Cantorin funktion lähtö- ja maalijoukko on yksikköväli [0, 1] eli gamma : [0, 1] -> [0, 1]. Funktion määrittely aloitetaan kuitenkin usein Cantorin joukon avulla. Nimen pirunporrasfunktio on saanut portaikkoa muistuttavasta kuvaajastaan. Vaikka gamma muistuttaa portaikkoa ja ensisilmäyksellä vaikuttaa katkonaiselta, niin se on kuitenkin jatkuva ja jopa tasaisesti jatkuva.
Viimeisenä asiana tässä tutkielmassa esitetään lyhyesti Cantorin joukkoon liittyvä Lebesguen käyrä. Lebesguen käyrää sanotaan avaruuden täyttäväksi käyräksi, koska se kulkee jokaisen maalijoukkonsa, tässä tapauksessa yksikköneliön [0; 1] x [0; 1], pisteen kautta.
