I slutet av 1700-talet gissade Gauss och Legendre att
lim_{x→∞} \frac{π (x) log (x)}{x} =1,
där π (x) är antalet primtal som är mindre än eller lika med x. Hadamard och de la Vall'ee Poussin bevisade påstående oberoende av varandra år 1896 och resultatet kallas numera primtalssatsen. Efter detta har satsen bevisats på både elementära sätt (Selberg & Erdõs, 1949) och med hjälp av komplexanalys (Newman, 1980).
I denna avhandling kommer vi att presentera ett analytiskt bevis av PTS. I beviset kommer vi att utnyttja Riemanns zetafunktion och dess egenskaper. I kapitel 3 behandlar vi komplexanalys. Vi diskuterar bl.a. Eulers gammafunktion, Riemanns zetafunktion och Dirichletserier. Det är en naturlig fortsättning till PTS att diskutera zetafunktionens nollställen, och därför bevisar vi Hardys sats. Efter detta kommer vi att presentera den ökända Riemannhypotesen.
Gauss gissade att den logaritmiska integralen
\li (x) :=∈t_2^x \frac{dt}{log t}
skulle approximera π (x) mycket bra. Vi definierar den s.k. restfunktionen som r(x):=π (x) - \li (x). Vi avslutar avhandlingen genom att bevisa att om det för varje \epsilon >0 gäller att |r(x)|<x^{\frac{1}{2} +\epsilon} så är Riemannhypotesen sann.
