Tässä opinnäytetyössä tarkastellaan kompleksitasossa määriteltyjä analyyttisia kuvauksia. Tarkastelun kohteena ovat erityisesti kompleksitason avoimen yksikkökiekon itselleen kuvaavat analyyttiset kuvaukset. Luvuissa 1,2,3 ja 4 esitellään tutkielman kannalta tärkeät kompleksianalyysiin liittyvät määritelmät ja tulokset. Luvussa 5 osoitetaan klassinen Schwarzin lemma muodossa, että kompleksitason avoimen yksikkökiekon itselleen kuvaavat analyyttiset funktiot joko kutistavat euklidista etäisyyttä tai ovat kiertoja origon ympäri. Luvussa 7 käsitellään hyperbolista tasoa. Hyperbolinen taso muodostetaan varustamalla kompleksitason avoin yksikkökiekko hyperbolisella metriikalla. Hyperbolisen tason ainoat isometriat ovat luvussa 6 esitettävät automorfismit. Luvussa 9 esitellään Schwarzin-Pickin lemma. Lemma on hyperbolinen versio klassisesta Schwarzin lemmasta ja se antaa myös vahvempia tuloksia avoimen yksikkökiekon itselleen kuvaaville analyyttisille kuvauksille kuin klassinen Schwarzin lemma. Toiseksi viimeisessä luvussa laajennetaan ja vahvennetaan Schwarzin-Pickin lemmaa, esittelemällä kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemma. Kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemmasta saadaan tärkeitä seurauksia, joita sovelletaan viimeisessä luvussa hyperbolisen tason hyperbolisten derivaattojen tarkastelussa.
