Pro gradu -tutkielman varsinaisena tavoitteena on johtaa Hassler Whitneyn vuonna 1936 alkujaan todistama hänen nimeään kantava Whitneyn upotuslause, jonka mukaan jokainen sileä monisto on diffeomorfinen euklidisen avaruuden jonkin alimoniston kanssa.
Työn ensimmäisessä luvussa tutustutaan kolmeen analyysin keskeiseen tulokseen. Nämä ovat Käänteiskuvauslause, Implisiittifunktiolause ja Astelause. Nämä lauseet käsittelevät sileiden kuvausten lokaalien käänteiskuvausten olemassaoloa eri ulotteisissa lähtö- ja maaliavaruuksissa. Näitä kolmea lausetta käytetään seuraavien kolmen luvun aikana useasti.
Toisessa luvussa tutustutaan sileiden monistojen teorian perusteisiin. Tässä luvussa määritellään muun muassa seuraavat käsitteet: kartta, sileä kuvaus, tangenttikimppu ja -avaruus, tangenttikuvaukset, immersio sekä alimonisto. Luvun lopussa perehdytään monistojen parakompaktisuuteen ja kehitetään työkaluja, joilla saadaan olemassaolevien karttojen avulla aikaiseksi hyödyllisempiä karttoja.
Kolmannessa luvussa osoitetaan, että jokainen kompakti sileä monisto voidaan upottaa sileästi euklidiseen avaruuteen. Tämä antaa aiheen tarkastella tarkemmin euklidisten avaruuksien alimonistojen ominaisuuksia. Lopuksi löydetään tarkka arvo sille, miten moniulotteiseen avaruuteen sileät kompaktit monistot voidaan sileästi upottaa.
Työn neljäs luku aloitetaan jatkamalla monistojen parakompaktisuustutkimusta. Luvun ensimmäisen kappaleen tavoitteena on luoda sileitä ykkösen osituksia. Luku jatkuu monistojen nollamittaisten joukkojen käsitteen määrittelemisellä. Luvun lopussa käytetään aikaisemmin luotuja työkaluja hyödyksi ja osoitetaan, että jokaista sileää kuvausta sopivaulotteiseen euklidiseen avaruuteen voidaan approksimoida sileillä injektiivisillä immersioilla. Tämän tuloksen avulla työn päätulos voidaan todistaa kohtalaisen helposti.
