| dc.date.accessioned |
2013-04-02T07:01:04Z |
und |
| dc.date.accessioned |
2017-10-24T12:22:21Z |
|
| dc.date.available |
2013-04-02T07:01:04Z |
und |
| dc.date.available |
2017-10-24T12:22:21Z |
|
| dc.date.issued |
2013-04-02T07:01:04Z |
|
| dc.identifier.uri |
http://radr.hulib.helsinki.fi/handle/10138.1/2478 |
und |
| dc.identifier.uri |
http://hdl.handle.net/10138.1/2478 |
|
| dc.title |
Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa |
fi |
| ethesis.discipline |
Teaching of Mathematics |
en |
| ethesis.discipline |
Matematiikan opettajan koulutus |
fi |
| ethesis.discipline |
Utbildning av matematiklärare |
sv |
| ethesis.discipline.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/C3b2c51e-946b-441e-829f-14e18bcff245 |
|
| ethesis.department.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/61364eb4-647a-40e2-8539-11c5c0af8dc2 |
|
| ethesis.department |
Institutionen för matematik och statistik |
sv |
| ethesis.department |
Department of Mathematics and Statistics |
en |
| ethesis.department |
Matematiikan ja tilastotieteen laitos |
fi |
| ethesis.faculty |
Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten |
sv |
| ethesis.faculty |
Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta |
fi |
| ethesis.faculty |
Faculty of Science |
en |
| ethesis.faculty.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/8d59209f-6614-4edd-9744-1ebdaf1d13ca |
|
| ethesis.university.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/50ae46d8-7ba9-4821-877c-c994c78b0d97 |
|
| ethesis.university |
Helsingfors universitet |
sv |
| ethesis.university |
University of Helsinki |
en |
| ethesis.university |
Helsingin yliopisto |
fi |
| dct.creator |
Huttunen, Mikko |
|
| dct.issued |
2013 |
|
| dct.language.ISO639-2 |
fin |
|
| dct.abstract |
Integraalilaskenta on yksi matematiikan kulmakivistä. Lukiossa sitä opetetaan osana pitkää matematiikkaa, jossa sille on varattu oma yksittäinen kurssinsa. Tutkielman Luvussa 1 tutustutaan alkuun, miten integraalilaskenta esiintyy lukion opetussuunnitelman perusteissa, jonka jälkeen Luvussa 2 esitellään lyhyesti erilaisia oppimiskäsityksiä. Edelleen Luvussa 3 tarkastellaan opetussuunnitelman perusteissa esiintyvien keskeisten käsitteiden määritelmiä ja niihin liittyvää teoriaa. Tutkielman päätarkoitus on analysoida lukion pitkän matematiikan oppikirjasarjoja integraalilaskennan osalta. Luvussa 4 tutkitaankin toisaalta kirjasarjojen eroavaisuuksia ja toisaalta suhdetta opetussuunnitelman perusteisiin ja Luvussa 3 annettuihin keskeisiin käsitteisiin. Lopuksi Luvussa 5 tehdään lyhyt yhteenveto.
Integraalilaskenta rakentuu kahden peruskäsitteen, integraalifunktion eli määräämättömän integraalin ja määrätyn integraalin eli Riemannin integraalin varaan. Integraalifunktioita etsittäessä eli integroitaessa määritetään ne funktiot, joiden derivaattafunktio tarkasteltavalla reaalilukuvälillä tunnetaan. Määrätty integraali puolestaan on lähtöisin pyrkimyksestä määrittää epänegatiivisen, jatkuvan funktion käyrän kaaren ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala suljetulla reaalilukuvälillä. Tällaista aluetta voidaan arvioida suorakulmioilla jakamalla tarkasteltava väli osaväleihin ja valitsemalla kultakin osaväliltä sitten mielivaltainen piste, jossa lasketaan funktion arvo. Kun nyt ensin lasketaan osavälin ja edellä saadun funktion arvon tulo jokaisella osavälillä ja sitten summataan näin saadut tulot yhteen, niin saadaan erään suorakulmioista koostuvan monikulmion pinta-ala. Kun sitten kasvatetaan osavälien lukumäärää siten, että samalla pisimmän osavälin pituus lähenee nollaa, niin havaitaan geometrisesti, että saadaan mielivaltaisen tarkasti edellä tarkasteltavan funktion ja x-akselin välistä aluetta myötäilevän monikulmion pinta-ala. Jos vastaavaan raja-arvoon päädytään millä tahansa jaolla, jossa pisimmän osavälin pituus lähenee nollaa ja mielivaltaisella jonolla, jossa funktion arvot lasketaan, niin sanotaan, että funktio on integroituva ja edellä saatu raja-arvo on funktion Riemannin integraali yli tarkasteltavan välin. Määritelmä annetaan usein suljetulla välillä rajoitetulle funktiolle. Määritelmä voidaan antaa yhtäpitävästi niin sanottujen ala- ja yläsummien avulla, kuten tutkielman Luvussa 3 tehdään. Analyysin peruslause kertoo, että suljetulla välillä jatkuvan funktion Riemannin integraali on yhtä suuri kuin tarkasteltavan funktion jonkin integraalifunktion välin loppu- ja alkupisteessä saamien arvojen erotus.
Edellä saadut käsitteet esiintyvät myös lukion integraalilaskennassa. Oppikirjasarjat käsittelevät määräämätöntä integraalia kutakuinkin samalla tavalla kuin yllä, mutta määrätyn integraalin esittelyssä on eroja: esimerkiksi kirjasarjat Pitkä matematiikka ja Laudatur antavat määrätyn integraalin määritelmän Analyysin peruslauseena, kun taas Matematiikan taito, Pyramidi ja Lukion Calculus käyttävät yllä kuvatun kaltaista lähestymistapaa. Kirjasarjoissa on muutenkin paljon eroavaisuuksia: esimerkiksi Matematiikan taito ja Pyramidi ovat muita huomattavasti teoreettisempia ja käyttävät paljon enemmän yliopistomatematiikan kaltaista notaatiota. Kaikki kirjasarjat vastaavat kuitenkin opetussuunnitelman perusteissa asetettuihin oppimistavoitteisiin ja keskeisiin sisältöihin. |
fi |
| dct.language |
fi |
|
| ethesis.language.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/languages/fin |
|
| ethesis.language |
Finnish |
en |
| ethesis.language |
suomi |
fi |
| ethesis.language |
finska |
sv |
| ethesis.thesistype |
pro gradu-avhandlingar |
sv |
| ethesis.thesistype |
pro gradu -tutkielmat |
fi |
| ethesis.thesistype |
master's thesis |
en |
| ethesis.thesistype.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/thesistypes/mastersthesis |
|
| dct.identifier.urn |
URN:NBN:fi-fe2017112251713 |
|
| dc.type.dcmitype |
Text |
|
