Schwarzin lemman mukaan jokainen origon kiinnittävä analyyttinen yksikkökiekon D itsekuvaus f on joko kierto tai se kutistaa pisteen z \neq 0 etäisyyden origoon. Kun D tulkitaan hyperbolisen geometrian mallina ja f tämän mallin mukaisena kuvauksena, saadaan hieman heikommilla oletuksilla vahvempi tulos: hyperbolisen metriikan suhteen jokainen analyyttinen yksikkökiekon itsekuvaus on joko isometria tai kutistus. Tulos tunnetaan Schwarzin-Pickin lemmana, joka todistetaan tässä tutkielmassa.
Ennen Schwarzin-Pickin lemmaa tutkielmassa määritellään Poincarén kiekkomalli hyperboliselle geometrialle ja osoitetaan sen toteuttavan hyperbolisen version Eukleideen paralleeliaksioomasta. Lisäksi määritellään tarvittava hyperbolinen metriikka, osoitetaan sen indusoiman etäisyyskäsitteen ominaisuuksia sekä havainnollistetaan niitä esimerkein.
Tutkielman tärkeinä apuvälineinä käytetään Möbius-kuvauksia, jotka kuvaavat hyperboliset suorat hyperbolisiksi suoriksi. Erityisesti osoitetaan, että kiekon D konformiset automorfismit ovat tunnettua muotoa olevia Möbius-kuvauksia, jotka muodostavat ryhmän kuvausten yhdistämisen suhteen. Automorfismien osoitetaan myöhemmin olevan täsmälleen samoja kuin hyperboliset isometriat, minkä avulla saadaan helposti osoitettua useita etäisyyttä koskevia väitteitä.
Schwarzin-Pickin lemma todistetaan yhdistämällä kuvaus f kahden sopivat ehdot täyttävien automorfismien kanssa ja soveltamalla Schwarzin lemmaa saatuun yhdisteeseen. Tutkielman lopuksi todistetaan kaksi Schwarzin-Pickin lemmalla saatavaa tulosta, joista ensimmäisen mukaan aiemmin määritelty hyperbolinen metriikka on vakiokerrointa vaille ainoa, jonka suhteen automorfismit ovat isometrioita. Toinen tulos on Schwarzin-Pickin lemman eräs vahvempi muoto, joka antaa tiukemman ylärajan kuvauksen f kuvapisteiden väliselle hyperboliselle etäisyydelle.
