Bonusjärjestelmät ovat hyvin yleisiä liikenne- ja kaskovakuutuksissa. Autovakuutusmaksujen hinnoittelussa käytetään monia 'a priori' muuttujia vaikka monissa tutkimuksissa on voitu osoittaa, että paras ennuste tulevien vahinkojen määrittämisessä on vakuutetun vahinkohistoria. Idea keksittiin 1950-luvulla pohdittaessa voidaanko vakuutusmaksua tarkistaa jälkikäteen ('a posteriori'), kun jokaisen vakuutetun vahinkohistoriaa oli tarkasteltu. Tällainen bonus-malus -järjestelmä rankaisee vakuutettua yhdestä tai useammasta vahingosta ylimääräisellä maksulla (malus) ja palkitsee vahingottomasta vuodesta vakuutusmaksun alennuksella (bonus), tunnetaan suomeksi nimellä bonusjärjestelmä. Se on samalla vakuutusyhtiön reaktio käänteiseen valintaan, epätäydelliseen informaatioon vakuutetun käyttäytymisestä.
Vakuutusyhtiö käyttää bonusjärjestelmää, kun vakuutetut voidaan jaotella äärelliseen määrään luokkia, jonka perusteella vuosittainen vakuutusmaksu määräytyy sekä vakuutetun luokka vakuutuskaudella määräytyy ainoastaan edellisen vakuutuskauden luokan ja nykyisen vakuutuskauden aikana aiheuttamien vahinkojen lukumäärän perusteella. Bonusjärjestelmä koostuu kolmesta osasta: bonusluokat, bonusskaala ja bonussäännöstä.
Bonusjärjestelmään sisältyy vakuutetun näkökulmasta kysymys minkä suuruisesta vahingosta kannattaa hakea korvaus. Vakuutetut maksavat itse mieluummin pienet vahingot välttääkseen vakuutusmaksun nousun. Tätä ilmiötä kutsutaan bonusnäläksi. Sen yleisyys kertoo osittain bonusjärjestelmän tiukkuudesta. Mitä tiukempi bonusjärjestelmä, sitä enemmän jätetään vahinkoja ilmoittamatta.
Asiaa lähestytään kolmella eri tavalla. Lemairen algoritmi pyrkii etsimään optimaalisen korvauksenhakustrategian, missä määritellään optimaaliset rajat eri bonusluokkien kynnyshinnoille; jos vahingon suuruus on alle kynnyshinnan, niin järkevä vakuutuksenottaja ei ilmoita vahingosta ja päinvastoin. Kuitenkaan kaikki vakuutetut eivät ole järkeviä vaan hakevat korvauksen kaikista vahingoistaan vakuutusyhtiöltä, vaikkakin se olisi alle kynnyshinnan. Sopivien kynnyshintojen laskemiseksi sovitetaan vakuutuskantaan Lemairen algoritmia ja painotettua Poisson-prosessia, tavoitteena löytää todelliset korvausmäärien ja -lukumäärien jakaumat, mitkä eivät olisi vääristyneet bonusnälän johdosta.
Viimeisessä luvussa lähestytään samaa optimaalisen korvauksenhakustrategian määrittämistä ohjattujen Markovin ketjujen ja dynaaminen ohjelmoinnin avulla. Vakuutetulla on vakuutuskauden lopussa mahdollisuus tehdä valinta hakeako korvausta vai ei vakuutuskauden aikana sattuneesta vahingosta. Yleensä korvauksen hakemisesta seuraa vakuutusmaksujen nousu joiksikin vuosiksi, riippuen bonussäännöstön ankaruudesta. Vakuutuksenottaja ohjaa täten valinnoillaan Markovin ketjun kulkua tekemällä sellaisia toimintoja, joilla odotettujen kokonaiskustannusten nykyarvo minimoituu.
