Tässä tutkielmassa näytetään, miten ryhmä voidaan elegantisti ja kompaktisti esittää virittäjien ja relaatioiden avulla. Sitä ennen kuitenkin kerrataan luvussa 2 teoriaa muun muassa ryhmän virittämisen osalta. Luvussa 3 tarkastellaan uusia käsitteitä sana ja vapaa ryhmä.
Olkoon joukko S. Muodostetaan siitä erillinen joukko S siten, että jokaista joukon S alkiota a vastaa joukossa S täsmälleen yksi alkio a *. Merkitään näiden joukkojen yhdistettä T. Muodostetaan äärellisiä jonoja (a_1, ..., a_n), joissa jokainen alkio a_i kuuluu joukkoon T. Merkitään jonoa lyhyesti a_1...a_n ja kutsutaan sitä sanaksi joukon T yli. Mikäli lähtökohtana on ryhmä G ja sen osajoukko S, niin joukko S koostuu joukon S alkioiden a käänteisalkioista a^-1 ryhmässä G, jolloin voidaan merkitä a = a^-1 ja S = S^-1.
Vapaalle ryhmälle on kaksi erilaista määritelmää: epäformaali ja formaali. Epäformaalin määritelmän mukaan ryhmä F on vapaa joukon S suhteen, jos ryhmä F koostuu sellaisista sanoista joukon T yli, että kaikki osasanat aa * ja a* a ovat supistettu pois. Tällaisia sanoja kutsutaan supistetuiksi. Formaalin määritelmän mukaan puolestaan ryhmä F on vapaa joukon S suhteen, mikäli mikä tahansa kuvaus joukolta S mielivaltaiselle ryhmälle G laajenee yksikäsitteisesti homomorfismiksi ryhmältä F ryhmälle G. Alaluvun 3.1 lopussa tutkitaan näiden kahden määritelmän yhteyttä toisiinsa. Alaluvussa 3.2 osoitetaan vielä Nilsenin–Shreierin lause, jonka mukaan jokaisen vapaan ryhmän aliryhmä on myös vapaa.
Näiden myötä siirrytään käsittelemään ryhmän esitystä. Ryhmän G esitys koostuu kahdesta joukosta: virittäjäjoukosta S ja relaattorijoukosta R. Relaattorijoukon alkiot ovat supistettuja sanoja joukon T yli, eli relaattorijoukko on virittäjäjoukon S suhteen vapaan ryhmän F osajoukko. Ryhmä G saadaan siten, että vapaan ryhmän F alkioista supistetaan pois kaikki osasanat, jotka kuuluvat relaattorijoukon normaaliin sulkeumaan R. Luvussa 4 annetaan ryhmän esityksen määritelmä ja alaluvussa 4.2 annetaan esimerkkejä erilaisten ryhmien esityksistä.
Relaattorijoukon olemassaolosta seuraa, että ryhmän G sanoilla ei välttämättä ole yksikäsitteinen esitys. Sen sijaan vapaassa ryhmässä, jossa ylimääräisiä relaatioita ei ole, kullakin sanalla on yksikäsitteinen esitys. Yleisessä tapauksessa vapaa ryhmä ei siis ole vaihdannainen eli Abelin ryhmä. Voidaan kuitenkin määritellä myös vapaan Abelin ryhmän käsite. Sen määritelmä esitetään alaluvussa 4.3.
Luvussa 5 käsitellään niin kutsuttuja Cayley-verkkoja, joiden avulla ryhmä voidaan esittää virittäjien ja relaatioiden avulla myös graafisesti. Verkot voivat muun muassa auttaa löytämään uusia relaatioita, jotka pätevät esitetyssä ryhmässä.
Vaikka ryhmän esittäminen virittäjien ja relaatioiden avulla on hyvin kompakti tapa, niin joskus esityksen avulla voi olla monimutkaista sanoa edes, ovatko kaksi ryhmän G sanaa w_1 ja w_2 oikeastaan sama sana. Lopuksi viimeisessä luvussa tutustutaankin Max Dehnin vuonna 1911 esittämiin ryhmän esitykseen liittyviin kolmeen avoimeen ongelmaan: sanaongelma, konjugaattiongelma ja isomorfismiongelma.
