Hintakuplat ja talousmarkkinoiden epätasapainot ovat pitkään kiinnostaneet ekonomisteja ja matemaatikoita. Tämän työn tavoitteena on esittää matemaattisia malleja, jotka auttavat mallintamaan näitä epäsäännöllisyyksiä. Työn pohjana on laaja ymmärrys martingaaliteoriasta ja rahoitusteoriasta. Aluksi esittelen keskeisimmät määritelmät ja tulokset martingaaliteoriasta alkaen martingaalin määritelmästä. Lisäksi esittelen Brownin liikkeen ja käytän sitä esimerkeissäni havainnollistaakseni joitain tuloksia.
Kolmannessa kappaleessa esittelen matemaattista rahoitusteoriaa ja sen yleisimpiä käsitteitä. Rakennan pala palalta työssä käsiteltävän markkinamallin. Mallin tärkeimpinä osina on No Free Lunch with Vanishing Risk ja ei-dominoivia strategioita -oletukset. Näiden ominaisuuksien pohjalta esitän neljännessä kappaleessa määritelmän arvopaperin fundamentaaliselle hinnalle ja sen jälkeen pystyn määrittelemään hintakuplan käsitteen. Kun hintakupla on määritelty, esittelen sen ominaisuuksia ja siihen liittyviä tuloksia. Viimeisessä kappaleessa tarkastelen hintakuplia erilaisissa optioissa ja muissa johdannaisissa.
Päälähteinä tutkielmassa on käytetty teoksia: Dario Gasbarra, Introduction to Stochastic Analysis; Tommi Sottinen, Rahoitustoiminnan matematiikka ja Robert A. Jarrow, Philip Protter, Kazuhiro Shimbo: Asset price bubbles in incomplete markets.
