Tutkielmassa käydään läpi Dirichletin ja Bergmanin avaruuksien ominaisuuksia, ja tutkitaan niiden yhteyttä analyyttiseen Poincarén epäyhtälöön. Tämän lisäksi tutkitaan erilaisia yhdesti yhtenäisiä, rajoitettuja alueita, joissa ei päde analyyttinen Poincarén epäyhtälö.
Dirichletin avaruus on niiden rajoitetussa alueessa määriteltyjen analyyttisten funktioiden joukko, joiden derivaattafunktion L2 normi kyseisen alueen yli on äärellinen, ja Bergmanin avaruus on niiden analyyttisten funktioiden joukko, joiden L2 normi vastaavan alueen yli on äärellinen. Tutkielman alussa annetaan karakterisaatio sille, milloin Dirichletin avaruus on Bergmanin avaruuden osajoukko yhdesti yhtenäisissä, rajoitetuissa alueissa.
Käyttämällä suljetun kuvaajan teoreemaa, ja funktionaalianalyysin perustuloksia, todistetaan, että Dirichletin avaruuden sisältyminen Bergmanin avaruuteen rajoitetussa alueessa on ekvivalenttia sen kanssa, että kyseisessä alueessa pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tämän tuloksen avulla todistetaan, että rajoitetuissa, tähtimäisissä alueissa pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tästä edetään määrittelemällä paloittain tähtimäinen alue, ja todistamalla, että siinä pätee analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Tutkielmassa etsitään myös kompleksitason origokeskisen kiekon analyyttiselle Poincarén epäyhtälölle konkreettinen vakio.
Seuraavaksi esitetään kompleksitason rajoitettu, yhdesti yhtenäinen alue, jossa ei päde analyyttinen Poincarén epäyhtälö. Konstruktiossa hyödynnetään kompleksianalyysin ja analyyttisen geometrian perusideoita. Tätä aluetta muokkaamalla löydetään yhdesti yhtenäinen, rajoitettu alue, jossa pätee analyyttinen Poincarén (2, 2) epäyhtälö, mutta jos epäyhtälössä korvataan vasemmanpuoleisen funktion L2-normi oleellisella supremum-normilla, niin epäyhtälö ei enää päde. Tutkielman lopuksi esitetään erityisen yksinkertainen konstruktio spiraalimaisesta, rajoitetusta alueesta, jossa analyyttinen Poincarén epäyhtälö ei päde.
