Kompleksianalyysissä Dirichlet'n ongelma voidaan määritellä seuraavasti: Olkoon Ω ⊂ C rajoitettu alue ja olkoon f alueen Ω reunalla määritelty jatkuva reaaliarvoinen funktio. Tällöin Dirichlet'n ongelma on löytää alueessa Ω harmoninen funktio, joka yhtyy jatkuvaan funktioon f alueen Ω reunalla. Ratkaisemme tämän Dirichlet'n ongelman O. Perronin menetelmällä, joka perustuu subharmonisten ja superharmonisten funktioiden käyttöön.
Aloitamme esittämällä subharmonisten ja superharmonisten funktioiden määritelmät sekä niiden tärkeimpiä ominaisuuksia. Näiden avulla saamme osoitettua, että jatkuvat reunafunktiot ovat resolutiivisia eli niiden kohdalla yleistetty Dirichlet'n ongelma voidaan ratkaista. Lisäksi konstruktiosta seuraa, että tämä ratkaisu määrittelee positiivisen ja lineaarisen funktionaalin jatkuvien reunafunktioiden joukossa, jolloin Rieszin esityslause antaa tätä funktionaalia vastaavan mitan. Tämä mitta on harmoninen mitta. Alueen Ω reunan osajoukon E harmoninen mitta onkin siis karkeasti sanottuna ratkaisu Dirichlet'n ongelmaan, missä etsitään alueessa Ω harmonista funktiota, joka alueen reunalla vastaa joukon E karakteristista funktiota.
Jatkamme osoittamalla harmonisen mitan ominaisuuksia, tärkeimpänä sen, että harmoninen mitta säilyy tason konformisissa muunnoksissa. Näistä päädymme tarkastelemaan tasoalueessa Ω analyyttisten funktioiden käytöstä alueen reunalla. Plessnerin lauseen avulla saamme osoitettua, että analyyttinen injektio ei voi laajentaa liikaa niitä reunan osajoukkoja, missä se on konforminen. Tästä saamme johdettua Makarovin tuloksen, jonka mukaan harmoninen mitta on singulaarinen kaikkien 1-ulotteista karkeampien Hausdorff-mittojen kanssa. Tämä tarkoittaa, että harmonisen mitan kantajan Hausdorff-dimensio on korkeintaan 1.
Tarkastelemme myös hieman Bloch-funktioita ja osoitamme niille niin kutsutun Makarovin lain iteroidulle logaritmille. Tämän avulla saamme lopulta osoitettua Makarovin toisen suuren tuloksen koskien harmonista mittaa. Seuraa nimittäin, että harmoninen mitta on absoluuttisesti jatkuva tietynlaisen Hausdorff-mitan kanssa ja näin ollen harmonisen mitan kantajan Hausdorff-dimension täytyy olla vähintään 1. Yhdessä aiemman tuloksen kanssa näistä seuraa, että kompleksitasossa C harmonisen mitan kantajan Hausdorff-dimensio on tasan 1.
