| dc.date.accessioned |
2013-12-02T07:20:05Z |
und |
| dc.date.accessioned |
2017-10-24T12:21:17Z |
|
| dc.date.available |
2013-12-02T07:20:05Z |
und |
| dc.date.available |
2017-10-24T12:21:17Z |
|
| dc.date.issued |
2013-12-02T07:20:05Z |
|
| dc.identifier.uri |
http://radr.hulib.helsinki.fi/handle/10138.1/3311 |
und |
| dc.identifier.uri |
http://hdl.handle.net/10138.1/3311 |
|
| dc.title |
A Pretentious Approach to Estimating Character Sums |
en |
| ethesis.discipline |
Mathematics |
en |
| ethesis.discipline |
Matematiikka |
fi |
| ethesis.discipline |
Matematik |
sv |
| ethesis.discipline.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/44bc4f03-6035-4697-993b-cfc4cea667eb |
|
| ethesis.department.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/61364eb4-647a-40e2-8539-11c5c0af8dc2 |
|
| ethesis.department |
Institutionen för matematik och statistik |
sv |
| ethesis.department |
Department of Mathematics and Statistics |
en |
| ethesis.department |
Matematiikan ja tilastotieteen laitos |
fi |
| ethesis.faculty |
Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten |
sv |
| ethesis.faculty |
Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta |
fi |
| ethesis.faculty |
Faculty of Science |
en |
| ethesis.faculty.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/8d59209f-6614-4edd-9744-1ebdaf1d13ca |
|
| ethesis.university.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/50ae46d8-7ba9-4821-877c-c994c78b0d97 |
|
| ethesis.university |
Helsingfors universitet |
sv |
| ethesis.university |
University of Helsinki |
en |
| ethesis.university |
Helsingin yliopisto |
fi |
| dct.creator |
Jääsaari, Jesse Sebastian |
|
| dct.issued |
2013 |
|
| dct.language.ISO639-2 |
eng |
|
| dct.abstract |
Vuonna 1837 Peter Dirichlet todisti suuren alkulukuja koskevan tuloksen, jonka mukaan jokainen aritmeettinen jono {an + d}_{n=1}^{∞}, missä (a ,d) = 1, sisältää äärettömn monta alkulukua. Todistuksessa hän määritteli ns. Dirichlet'n karakterit joille löydettiin myöhemmin paljon käyttöä lukuteoriassa.
Dirichlet'n karakteri χ (mod q) on jaksollinen (jakson pituutena q), täysin multiplikatiivinen aritmeettinen funktio, jolla on seuraava ominaisuus: χ(n) = 0 kun (n ,q) > 1 ja χ(n) \neq 0 kun (n ,q) = 1.
Tässä Pro Gradu-tutkielmassa tutkitaan karakterisumman
\mathcal{S}_χ(t) = \sum_{n ≤ t} χ(n)
kokoa, missä t on positiivinen reaaliluku ja χ (mod q) on ei-prinsipaali Dirichlet'n karakteri. Triviaalisti jaksollisuudesta seuraa, että |\mathcal{S}_χ(t)| ≤ min(t, q). Ensimmäinen epätriviaali arvio on vuodelta 1918, jolloin George Pólya ja Ivan Vinogradov todistivat, toisistaan riippumatta, että |\mathcal{S}_χ(t)| << \sqrt qlog q uniformisti t:n suhteen. Tämä tunnetaan Pólya--Vinogradovin epäyhtälönä.
Olettamalla yleistetyn Riemannin hypoteesin, Hugh Montgomery ja Robert Vaughan todistivat, että |\mathcal{S}_χ(t)| << \sqrt qloglog q vuonna 1977. Vuonna 2005 Andrew Granville ja Kannan Soundararajan osoittivat, että jos χ (mod q) on paritonta rajoitettua kertalukua g oleva primitiivinen karakteri, niin
|\mathcal{S}_χ(t)|<<_g \sqrt q(log Q)^{1-\frac{δ_g}{2}+o(1)},
missä δ_g on g:stä riippuva vakio ja Q on q tai (log q)^{12} riippuen siitä oletetaanko yleistetty Riemannin hypoteesi. Todistus perustui teknisiin aputuloksiin, jotka saatiin muotoiltua teeskentelevyys-käsitteen avulla. Granville ja Soundararajan määrittelivät kahden multiplikatiivisen funktion, joiden arvot ovat yksikkökiekossa, välisen etäisyyden kaavalla
\mathbb{D}(f, g; x) = \sqrt{\sum_{p≤ x}\frac{1-\Re(f(p) \overline g(p))}{p}},
ja sanoivat, että f on g-teeskentelevä jos \mathbb{D}(f, g; ∞) on äärellinen. Tällä etäisyydellä on paljon hyödyllisiä ominaisuuksia, ja niihin perustuvia menetelmiä kutsutaan teeskentelevyys-menetelmiksi.
Johdannon jälkeen luvussa 2 esitetään määritelmiä ja perustuloksia. Luvun 3 tarkoitus on johtaa luvussa 6 tarvittavia aputuloksia. Luvussa 4 määritellään teeskentelevyys, todistetaan etäisyysfunktion \mathbb{D}(f, g; x) ominaisuuksia ja esitetään joitakin sovelluksia. Luvussa 5 johdetaan jälleen teknisiä aputuloksia, jotka seuraavat Montgomery--Vaughanin arviosta. Luvussa 6 tarkastellaan karakterisummia. Aloitamme todistamalla Pólya—Vinogradovin epäyhtälön ja Montgomery-Vaughanin vahvennoksen tälle. Päätuloksena johdamme arvion (1), jossa \frac{1}{2}δ_g on korvattu vakiolla δ_g. Tämän todisti alunperin Leo Goldmakher. Lopuksi käytämme teeskentelevyys-menetelmiä osoittamaan, että Pólya—Vinogradovin epäyhtälöä voi vahventaa jos karaktereista tehdään erilaisia oletuksia. |
fi |
| dct.language |
en |
|
| ethesis.language.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/languages/eng |
|
| ethesis.language |
English |
en |
| ethesis.language |
englanti |
fi |
| ethesis.language |
engelska |
sv |
| ethesis.thesistype |
pro gradu-avhandlingar |
sv |
| ethesis.thesistype |
pro gradu -tutkielmat |
fi |
| ethesis.thesistype |
master's thesis |
en |
| ethesis.thesistype.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/thesistypes/mastersthesis |
|
| dct.identifier.urn |
URN:NBN:fi-fe2017112251741 |
|
| dc.type.dcmitype |
Text |
|
