Jacobin summassa on kyse kongruenssiluokkien modulo p kunnan kahden multiplikatiivisen karakterin tulojen summasta sellaisilla kongruenssiluokkien modulo p kunnan arvoilla a ja b, joiden summa on 1. Tutkielman lopullisena tavoitteena on päästä hyödyntämään Jacobin summaa erään elliptisen käyrän ratkaisujen etsimisessä.
Jotta Jacobin summaa voidaan käyttää, täytyy tuntea kongruenssiluokkien modulo p joukko sekä multiplikatiivisen karakterin käsite. Kongruenssiluokka [a] modulo p on sellaisten kokonaislukujen joukko, jotka ovat kongruentteja luvun a kanssa modulo p. Kaksi kongruenssiluokkaa ovat joko erilliset tai identtiset. Erillisiä kongruenssiluokkia modulo p on olemassa täsmälleen p kappaletta ja ne muodostavat kongruenssiluokkien modulo p joukon.
Kongruenssiluokkien modulo p kunnan multiplikatiivisella karakterilla tarkoitetaan kuvausta kongruenssiluokkien modulo p joukolta kompleksilukujen joukolle siten, että sekä kuvauksen määrittely- että arvojoukosta on punkteerattu nolla-alkio pois. Karakteri on multiplikatiivinen, mikäli kongruenssiluokkien modulo p joukon alkioiden tulon kuva on yhtä kuin alkioiden kuvien tulo.
Tutkielman ensimmäisessä luvussa luodaan pintapuolinen katsaus elliptisten käyrien sovelluksiin sekä elliptisen käyrän yhtälön eri muotoihin ja muotojen vaikutukseen ratkaisujen löytämisessä. Toisessa luvussa käsitellään kongruensseihin ja kongruenssiluokkiin liittyviä perustuloksia. Luvun lopuksi tarkastellaan kongruenssin juurten löytymiseen vaikuttavia seikkoja. Kolmannessa luvussa osoitetaan, että edellisessä luvussa löydetty kongruenssiluokkien modulo p joukko on kunta, kun p on alkuluku, ja että kyseinen joukko, josta on poistettu nolla-alkio, on kertolaskun suhteen syklinen ryhmä.
Luvussa neljä tutustutaan kongruenssiluokkien modulo p kunnan multiplikatiivisten karakterien ominaisuuksiin ja nostetaan esille kaksi erityistä karakteria, Legendren symboli ja biquadraattinen jäännöskarakteri. Lisäksi havaitaan, että yhtälön x^n=a, missä a on kongruenssiluokkien modulo p kunnan alkio, ratkaisujen lukumäärä saadaan niiden karakterien summana, joiden kertaluku jakaa luvun n. Tätä tulosta hyödynnetään viidennessä luvussa, kun selvitetään kahden yhtälön ratkaisujen lukumäärää kongruenssiluokkien modulo p kunnassa. Koska ratkaisujen lukumäärässä on kyse karakterien summasta, avuksi otetaan Jacobin summa ja muutama siihen liittyvä hyödyllinen tulos. Lisäksi luvussa sivutaan Gaussin summaa. Viimeisessä luvussa etsitään elliptisen käyrän yhtälön y^2=x^3-Dx, missä D on kokonaisluku, ratkaisujen lukumäärä kongruenssiluokkien modulo p kunnassa Jacobin summaa hyödyntämällä.
