Tämä tutkielma käsittelee kahta yleisesti melko tuntematonta lukualuetta: kvaternioita ja oktonioita. Tutkielman tavoite on esitellä nämä lukualueet ja niiden historiaa sekä todistaa joitakin ominaisuuksia näihin liittyen. Erityisesti tutkielman tavoitteena on todistaa, että reaaliluvut, kompleksiluvut, kvaterniot ja oktoniot ovat ainoat normitetut jakoalgebrat.
Tutkielman ensimmäinen luku on johdantoluku, jossa johdatellaan aiheeseen kompleksilukujen avulla ja esitellään tutkielmassa käytetyt lähteet. Ennen tutkielman pääasialliseen aiheeseen siirtymistä tutkielman toisessa luvussa määritellään reaalikertoiminen algebra, jakoalgebra ja lopulta normitettu jakoalgebra. Luvussa esitellään ja todistetaan jakoalgebroja luonnehtiva lause. Lisäksi todistetaan, että kompleksilukujen algebra on normitettu jakoalgebra.
Tutkielman kolmannessa luvussa esitellään kvaterniot ja määritellään kvaternioalgebra. Lisäksi määritellään kvaternioden kertolasku ja todistetaan lause kvaternioiden liitännäisyydestä. Luvussa määritellään myös kvaternioalgebran normi sekä todistetaan kvaternion konjugaattia ja käänteisalkiota koskevat lauseet. Näitä lauseita apuna käyttäen todistetaan, että kvaternioalgebra on normitettu jakoalgebra.
Neljäs luku käsittelee oktonioita. Luvussa määritellään oktonioalgebra ja esitetään oktonioiden kertolaskulle kaksi vaihtoehtoista määritelmää. Toisen määritelmän yhteydessä määritellään kongruenssin ja jäännösluokan käsitteet, sillä niitä tarvitaan kertolaskun määrittelyssä. Lisäksi luvussa määritellään oktonioalgebran normi sekä todistetaan oktonion konjugaattia ja käänteisalkiota koskevat lauseet, kuten kvaternioille tehtiin luvussa kolme. Samalla tavoin kuin kvaternioiden kohdalla, näitä lauseita hyödyntäen todistetaan, että oktonioalgebra on normitettu jakoalgebra.
Viidennessä ja viimeisessä luvussa vedetään yhteen, mitä lukualueita tutkielmassa on käsitelty. Luvussa määritellään kompositioalgebra sekä sen sisätulo ja konjugaatti. Lisäksi todistetaan kompositioalgebran sisätuloa ja konjugaattia koskevat lauseet. Luvussa määritellään myös Cayley-Dickson -algebra ja todistetaan siihen liittyvät lauseet. Lopuksi näitä lauseita apuna käyttäen todistetaan, että korkeampiulotteisia reaalikertoimisia kompositioalgebroja ei ole olemassa. Tässä tuodaan esille Hurwitzin lause, jonka mukaan reaaliluvut, kompleksiluvut, kvaterniot ja oktoniot ovat ainoat normitetut jakoalgebrat.
