Tutkielma jakautuu otsikon mukaisesti kahteen osaan, jotka ovat symmetriset polynomit ja resultantti. Osiot eivät ole täysin erillisiä, sillä resultanttia laskiessa voidaan hyödyntää symmetristen polynomien ominaisuuksia.
Aluksi määritellään symmetrisen polynomin käsite sekä esitellään symmetriset perusfunktiot. Symmetrinen polynomi käytännössä tarkoittaa polynomia, joka pysyy muuttumattomana, vaikka sen muuttujien järjestystä vaihdettaisiin mielivaltaisesti. ‘Symmetriset polynomit’- osuuden ydin on symmetristen funktioiden peruslause, joka kiteytettynä tarkoittaa, että jokainen symmetrinen polynomi voidaan yksikäsitteisesti esittää symmetristen perusfunktioiden avulla. Lisäksi esitellään polynomiyhtälön kertoimien ja kyseisen yhtälön juurien symmetristen perusfunktioiden välinen yhteys.
Resultantti on eräs kahdesta polynomiyhtälöstä muodostettu matemaattinen lauseke. Työssä esitellään resultantin lause sekä osoitetaan se todeksi kahdella eri tapaa. Toinen todistustavoista pohjautuu symmetrisiin perusfunktioihin, ja toinen tapa polynomiyhtälöistä muodostettavien determinanttien käyttöön. Resultantille voidaan laskea arvo suoraan sijoittamalla resultantin lausekkeeseen lukuarvot, jotka saadaan annetuista polynomiyhtälöistä. Resultantin parhaimpia käyttöominaisuuksia kuitenkin on, että sen avulla voidaan selvittää kahden polynomin yhteiset nollakohdat sekä mahdollinen tuntematon muuttuja. Tämän mahdollistaa muuan muassa se, että resultantin arvo on nolla, kun se muodostetaan yhteisen juuren omaaville polynomiyhtälöille. Resultanttia on hyödynnetty jopa todistettaessa RSA-salauksen luotettavuutta. Työn lopussa esitetään myös algoritmi, jolla resulantin arvo voidaan laskea.
