Fraktaaligeometria on mielenkiintonen ja visuaalinen matematiikan ala, ja tunnetuimpana tavaramerkkinä sillä ovat värikkäät ja upeat kuvat, joissa kuviot toistamalla itseään kiertyvät ja kaartuvat ja jatkuvat äärettömyyksiin. Fraktaaligeometrista kuviota katsellessaan voi kirjaimellisesti nähdä äärettömyyden.
Työni on tarkoitettu opiskelijoiden ja opettajien käytettäväksi, ja tavoitteenani on, että lukija tämän materiaalin luettuaan ymmärtää fraktaaligeometrisen konstruoinnin perusteet ja osaa ainakin teoriassa konstruoida fraktaaligeometrisia kuvioita helpoista funktioista, ihanteellisessa tilanteessa jopa mistä vain haluamastaan funktiosta. Työ on suunnattu toisen asteen tai sitä korkeampien asteiden opiskelijoille ja opettajille, sillä pohjatiedoiksi vaaditaan derivointitaitoja, kompleksilukujen ja –tason hallintaa, sekä funktion arvon määrittämisen ja graafisen kuvaamisen taitoa. Jokaisen kappaleen jälkeen on useita eritasoisia tehtäviä, joiden avulla opiskelija voi syventää teoreettista tietoaan. Kaikkiin tehtäviin vastaukset löytyvät liitteistä.
Aluksi esittelen hieman fraktaaligeometrian historiaa Sir Isaac Newtonin ja Benoit Mandelbrotin oivallusten kautta. Lisäksi aluksi tutustutaan itsesimilaarisuuden käsitteeseen kuvien kautta. Työssä on kaksi suurempaa teoreettista osa-aluetta. Ensimmäinen näistä on Newtonin metodi ja sen avulla saatujen iteraatiotulosten kuvaaminen reaaliakselilla fraktaaligeometriseksi kuvioksi, toinen osuus on Newtonin metodin soveltaminen kompleksiluvuille ja näin saatujen iteraatioiden kuvaaminen komplementtitasolla.
Kolmannessa kappaleessa esittelen Newtonin metodin ja kaksi erilaista tapaa tarkistaa saadun ratkaisun tarkistamiseen, ensimmäinen on sijoitusmenetelmä ja toinen Bolzanon lause. Tämän jälkeen käydään kahden erilaisen esimerkin avulla läpi, miten ensinnäkin iteraatiot kuvataan reaaliakselilla, ja toisekseen miten saadaan aikaiseksi värikuvia joista fraktaaligeometria on niin tunnettu.
Neljännessä luvussa käydään kevyesti läpi kompleksiluvut ja -taso, ja sen jälkeen käydään läpi miten niitä sovelletaan Newtonin metodin kanssa ja millaisia iteraatiolukuja niistä seuraa. Viimeisessä luvussa käytettään tätä kaikkea aiemmin opeteltua tietoa yhdessä soveltamalla Newtonin metodia funktioon kompleksiluvuissa ja konstruoimalla se kompleksitasoon, josta lopulta syntyy fraktaaligeometrinen värikuva.
