Skip to main content
Login | Suomeksi | På svenska | In English

Logistinen differentiaaliyhtälö ja sen sovelluksia

Show full item record

Title: Logistinen differentiaaliyhtälö ja sen sovelluksia
Author(s): Kaarre, Johanna
Contributor: University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics
Discipline: Teaching of Mathematics
Language: Finnish
Acceptance year: 2014
Abstract:
Työssä käsitellään logistista differentiaaliyhtälöä ja sen sovelluksia populaation kasvun mallinnusta, kasvainten kasvun mallinnusta, SI-mallia ja SIR-mallia. Monissa tilanteissa jonkin suureen muutos riippuu suureen tilasta. Jos suureen arvoa kuvaa jokin derivoituva funktio, niin tämän derivaatta kuvaa suureen muutosnopeutta. Suureen muutoksen riippuvuutta suureen tilasta voidaan ilmaista matemaattisesti differentiaaliyhtälöillä, jotka sitovat funktion derivaatan arvot funktion arvoihin. Differentiaaliyhtälöissä esiintyy aina vähintään yksi tuntematon funktio ja sen derivaattoja. Differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi pyritään selvittämään tuntematon funktio. Differentiaaliyhtälöt ovat tavallisimpia luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyviä matemaattisia malleja, joita syntyy tilanteissa, joissa esiintyy esimerkiksi ajasta ja paikasta riippuvia suureita. Logistinen funktio eli logistinen käyrä on yleinen sigmoidinen käyrä, joka on logistisen differentiaaliyhtälön ratkaisu. Logistisen käyrän kuvaaja on S:n muotoinen ja sillä voidaan mallintaa jonkin populaation P kasvua. Aluksi kuvaaja kasvaa lähes eksponentiaalisesti mutta kasvu hidastuu ja pysähtyy lopulta, kun ympäristön asettamat rajat tulevat vastaan. Kasvainten kasvun mallinnus on tärkeää, jotta voitaisiin löytää sopivia hoitomenetelmiä ja arvioida menetelmien hyötyjä. Aluksi kasvain kasvaa logistisen mallin mukaan mutta ajan myötä kasvu hidastuu ympäristön rajoittaessa kasvaimen kasvua. Von Bertalanffy (1902-1972) yleisti logistisen mallin Bertalanffyn yhtälöksi, jossa kasvaimen kasvua voidaan seurata tarkastelemalla sen tilavuuden muutoksia. Bertalanffyn yhtälöstä saadaan Gompertzin malli, joka on yksi tärkeimpiä kasvainten kasvua tarkastelevia malleja. SI-mallilla voidaan mallintaa jonkin uuden tuotteen, innovaation tai uudissanan leviämistä. Lisäksi sillä voidaan mallintaa joidenkin tautien tarttumista. SI-mallissa on kuitenkin monia yksinkertaistuksia eikä se ota huomioon esimerkiksi taudista paranemista. SI-mallia on kehitetty SIR-malliksi, joka ottaa huomioon SI-mallin puutteita kuten sen, että tartunnan saanut voi parantua saaden immuniteetin tautia vastaan.


Files in this item

Files Size Format View
Logistinen_ dif ... lo_ ja_sen sovelluksia.pdf 818.7Kb PDF

This item appears in the following Collection(s)

Show full item record