Ryhmäteorian eräänä päämääränä voidaan pitää äärellisten ryhmien löytämistä. Tässä tutkielmassa esittelen kaikki ryhmät aina kertalukuun 15 asti. Lisäksi osoitan, ettei muita korkeintaan kertalukua 15 olevia ryhmiä ole mahdollista löytyä. Algebran näkökulmasta ryhmät ovat samoja, jos niissä on täsmälleen samanlainen rakenne, vaikka niissä olisikin eri alkiot. Tällöin sanotaan, että ryhmät ovat isomorfisia keskenään.
Tutkielman sisältö voidaan jakaa kahteen osaan. Ensimmäisessä osassa esittelen algebran keskeisimmät käsitteet, joitain esimerkkejä sekä hyödyllisiä lauseita ja korollaareja. Määränpääni saavuttamisen kannalta merkittävimmät lauseet, Lagrangen lauseen ja Sylowin lauseet, olen esittänyt omissa luvuissaan. Lagrangen lauseen mukaan aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun. Toisaalta tästä seuraa, että myös ryhmän alkion kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun. Tämän lauseen avulla voidaan päätellä, millaisia alkioita ryhmät voivat sisältää. Sylowin lauseet puolestaan kertovat millaisia aliryhmiä ryhmät sisältävät. Peter Sylow osoitti, että jokaista ryhmän kertaluvun tekijää kohti, joka on jokin alkuluvun potenssi, löytyy aliryhmä, jonka kertaluku on tämä alkuluvun potenssi. Sylowin lauseiden avulla voidaan päätellä esimerkiksi näiden aliryhmien lukumääriä. Diedriryhmät olen käsitellyt omassa luvussa, jossa esittelen myös symmetrisen ryhmän käsitteen.
Tutkielman toinen puolisko keskittyy korkeintaan kertalukua 15 olevien ryhmien löytämiseen. Samalla tavalla käyttäytyvät kertaluvut on käsitelty samassa luvussa. Esimerkiksi kaikki ryhmät, joiden kertaluku on jokin alkuluku, ovat syklisiä eli yhden alkionsa virittämiä. Ryhmät joiden kertaluku on jonkin alkuluvun toinen potenssi käyttäytyvät keskenään samoin, kuten myös ryhmät, joiden kertaluku on 2p, kun p on jokin lukua kaksi suurempi alkuluku. Vaihdannaiset eli Abelin ryhmät voidaan löytää kaikkien kertalukujen tapauksessa helposti tutkielman ensimmäisessä osassa esittelemieni tulosten avulla. Epävaihdannaisten ryhmien tarkastelu on huomattavasti monimutkaisempaa. Tällaisten ryhmien aliryhmille ja alkioille voidaan löytää joitain ehtoja esimerkiksi Lagrangen lauseen ja Sylowien lauseiden avulla. Näin päästään usein käsiksi ryhmän virittäjäalkioihin ja sitä kautta johonkin konkreettiseen ryhmään. Tutkielman viimeisessä luvussa on vielä koottuna taulukkoon kaikki korkeintaan kertalukua 15 olevat ryhmät.
