Tämä pro gradu -työ käsittelee toisen asteen elliptisiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä sekä näiden ominaisarvo-ongelmia.
Työssä määrittelemme aluksi Sobolev-avaruudet, joissa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisuja on luonnollista tutkia. Käymme läpi Sobolev-avaruuksien perusominaisuuksia ja todistamme muun muassa, että Sobolev-avaruus W^{k,p} on Banach-avaruus. Luvun 2 lopuksi esitellään kompaktit upotukset ja kompaktit operaattorit sekä näihin liittyviä tunnettuja lauseita ja tuloksia, joista tärkeimmät ovat Rellich-Kondrachovin upotuslause sekä Fredholmin alternatiivi.
Luvussa 3 tarkastellaan elliptisiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä yleisesti. Määrittelemme yhtälön heikot ratkaisut ja todistamme heikon ja vahvan maksimiperiaatteen elliptiselle osittaisdifferentiaaliyhtälölle. Tämän jälkeen tutkimme, millaisilla ehdoilla yhtälöllä on olemassa ratkaisuja ja milloin ratkaisu on yksikäsitteinen. Yksikäsitteisyystodistuksissa hyödynnetään Lax-Milgramin teoriaa. Todistettuamme ratkaisujen olemassaoloa käsittelevän Lauseen 3.50 saamme syyn tutkia differentiaalioperaattorin spektriä, ominaisarvoja sekä ominaisfunktioita.
Työn tärkeimmät tulokset ovat Luvussa 4, jossa todistetaan sekä symmetrisen että ei-symmetrisen operaattorin ominaisarvoja sekä ominaisfunktioita koskevia tuloksia.
