Työssä esitetään ja todistetaan kuinka Hessen matriisin definiittisyyden avulla voidaan tunnistaa usean muuttujan funktion konveksisuus. Hessen matriisi on funktion 2. kertaluvun osittaisderivaatoista koostuva neliömatriisi. Hessen matriisia varten esitämme usean muuttujan differentiaalilaskennan ja neliömatriisien perusteita. Neliömatriisin definiittisyys kertoo millainen etumerkillinen käyttäytyminen on neliömatriisin indusoimalla neliömuodolla. n x n-neliömatriisin indusoima neliömuoto on n:n muuttujan polynomi. Työssä esitetään teoriaa neliömuotojen ja neliömatriisien definiittisyydestä ja osoitetaan kuinka neliömatriisin definiittisyyden voi tunnistaa pääalimatriisien determinanttien avulla tai sen ominaisarvojen avulla.
Konveksin funktion kahden mielivaltaisen kuvaajapinnan pisteen välille muodostetun janan pisteet ovat kuvaajapinnalla tai sen 'yläpuolella'. Konkaavin funktion tapauksessa janan pisteiden voidaan ajatella olevan kuvaajapinnalla tai sen 'alapuolella'. Työssä esitetään konveksin ja konkaavien funktioiden teoriaa ja todistetaan lauseet, joilla funktion osittaisderivaattojen tai funktion Hessen matriisin definiittisyyden avulla voidaan todeta funktion konveksisuus. Hessen matriisia koskevaa lauseen todistusta varten työssä todistetaan myös usean muuttujan Taylorin lause. Työn lopussa esitetään vielä kuinka Hessen matriisin definiittisyyden avulla voidaan myös tarkastella usean muuttujan funktion ääriarvopisteiden luonnetta.
