Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä George William Hillin 1877 tekstissään On the Part of the Motion of the Lunar Perigee which is a Function of the Mean Motions of the Sun and the Moon [Maan ja Kuun välimatkan minimistä, joka on Auringon ja Kuun liikkeiden funktio] julkaisema differentiaaliyhtälö, yhtälön eri esitysmuotoja, yhtälön ratkaisemiseen liittyviä teorioita ja yhtälön sovelluksia. Koska mikä tahansa toisen kertaluvun homogeeninen lineaariyhtälö, jolla on jaksolliset reaalikertoimet, voidaan palauttaa Hillin differentiaaliyhtälöä vastaavaan muotoon, tarkoitetaan Hillin yhtälöstä puhuttaessa usein laajempaa differentiaaliyhtälöiden joukkoa. Toisen asteen homogeenista lineaarista differentiaaliyhtälöä, joka on muotoa
d²y/dx²+Q(x)y=0,
missä y(x) ja Q(x) ovat kaikilla reaaliluvuilla x määriteltyjä funktioita ja Q(x) on jaksollinen, kutsutaan Hillin differentiaaliyhtälöksi.
Toisessa luvussa esitellään alkuperäinen Hillin differentiaaliyhtälö ja sen eri esitysmuotoja sekä joitain tunnetuimpia Hillin yhtälöihin lukeutuvia yhtälöitä. Lisäksi luvussa esitellään menetelmiä, joilla erityyppisiä differentiaaliyhtälöitä on mahdollista muuntaa esitysmuodoltaan Hillin yhtälöä vastaavan muotoon.
Kolmannessa luvussa esitellään Hillin yhtälöiden ratkaisujen tutkimiseen käytettäviä menetelmiä – tärkeimpänä kenties Floquet'n lause – ja muita Hillin yhtälöihin liittyviä teoreettisia näkökulmia. Tuoreempaa alkuperää oleva analyyttinen, Laplacen muunnokseen ja Volterran yhtälöön perustuva ratkaisumalli tarjoaa vaihtoehtoisen ratkaisutavan. Lisäksi luvussa esitellään oskillaatiolause, jolla voidaan tutkia Hillin yhtälöiden ratkaisujen stabiiliutta, ja joitain esimerkkejä.
Neljännessä luvussa esitellään Hillin yhtälön sovelluksia. Yhtälö toi aikanaan merkittävän parannuksen kolmen kappaleen ongelman ratkaisemiseen, joskin nykyään on kehitetty vielä tarkempia ratkaisuita tilastollisia menetelmiä hyödyntäen. Hillin yhtälöllä voidaan kuvata massallisen kappaleen oskillointia tasapainoaseman ympäristössä, kun siihen vaikuttaa jaksollisesti vaihteleva voima. Tarvitaan riittävän suuri voima käynnistämään oskillointi, mutta liian suuri voima saa amplitudin jatkuvasti kasvamaan, jolloin kappale karkaa lopulta voiman vaikutuspiiristä. Tähtitieteen ulkopuolisia sovelluksia on kehitetty erityisesti hiukkasfysiikassa – Hillin yhtälöä voidaan käyttää yhtälailla pienimpien tunnettujen hiukkasten kuin suurimpien planeettojen ja tähtienkin ratojen tutkimiseen.
