| dc.date.accessioned |
2014-08-01T11:35:16Z |
und |
| dc.date.accessioned |
2017-10-24T12:21:34Z |
|
| dc.date.available |
2014-08-01T11:35:16Z |
und |
| dc.date.available |
2017-10-24T12:21:34Z |
|
| dc.date.issued |
2014-08-01T11:35:16Z |
|
| dc.identifier.uri |
http://radr.hulib.helsinki.fi/handle/10138.1/4121 |
und |
| dc.identifier.uri |
http://hdl.handle.net/10138.1/4121 |
|
| dc.title |
On Comparative Prime Number Theory |
en |
| ethesis.discipline |
Mathematics |
en |
| ethesis.discipline |
Matematiikka |
fi |
| ethesis.discipline |
Matematik |
sv |
| ethesis.discipline.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/44bc4f03-6035-4697-993b-cfc4cea667eb |
|
| ethesis.department.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/61364eb4-647a-40e2-8539-11c5c0af8dc2 |
|
| ethesis.department |
Institutionen för matematik och statistik |
sv |
| ethesis.department |
Department of Mathematics and Statistics |
en |
| ethesis.department |
Matematiikan ja tilastotieteen laitos |
fi |
| ethesis.faculty |
Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten |
sv |
| ethesis.faculty |
Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta |
fi |
| ethesis.faculty |
Faculty of Science |
en |
| ethesis.faculty.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/8d59209f-6614-4edd-9744-1ebdaf1d13ca |
|
| ethesis.university.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/50ae46d8-7ba9-4821-877c-c994c78b0d97 |
|
| ethesis.university |
Helsingfors universitet |
sv |
| ethesis.university |
University of Helsinki |
en |
| ethesis.university |
Helsingin yliopisto |
fi |
| dct.creator |
Teräväinen, Joni Petteri |
|
| dct.issued |
2014 |
|
| dct.language.ISO639-2 |
eng |
|
| dct.abstract |
Komparatiivinen alkulukuteoria tutkii alkulukujen jakaumaa eri jäännösluokkiin ja erityisesti jakauman vääristymiä. Keskeinen tutkimuksen kohde on joukko
P_{ q; a_1, ... , a_r } = { x ≥ 2 : π (x; q ,a_1 )> ... > π (x; q, a_r)},
missä π (x; q, a) laskee alkulukujen muotoa qn+a määrän lukuun x asti ja jäännösluokat a_i ovat yhteistekijättömiä moduluksen q ≥ 2 kanssa. P. Tšhebyšhov huomasi jo vuonna 1853, että lähes aina π (x; 4,3) on suurempi kuin π (x; 4,1), vaikka alkulukulauseen aritmeettisissa jonoissa mukaan nämä ovat asymptoottisesti yhtä suuret. Myös muissa moduluksissa nähdään sama ilmiö: Osassa jäännösluokista on useimmiten enemmän alkulukuja rajaan x asti kuin toisissa. Tämän havainnon muotoileminen ei kuitenkaan ole triviaalia, sillä joukoilla P_{q ;a_1, ... ,a_r} ei aina ole asymptoottista tiheyttä. Vuonna 1994 M. Rubinstein ja P. Sarnak tekivät läpimurron joukkojen P_{q; a_1, ... ,a_r} tutkimisessa osoittamalla, että niiden logaritmiset tiheydet ovat positiivisia, mikäli oletetaan kaksi yleisesti uskottua hypoteesia. Joukon A logaritminen tiheys on
δ(A) = lim_{X→ ∞}\frac{1}{log X}∈t_{2}^X \frac{dt}{t},
kun raja-arvo on olemassa. Rubinsteinin ja Sarnakin oletukset ovat yleistetty Riemannin hypoteesi ja hypoteesi Dirichlet'n L-funktioiden nollakohtien lineaarisesta riippumattomuudesta rationaalilukujen yli. Ilman näitä oletuksia Rubinsteinin ja Sarnakin tuloksia ei ole todistettu.
Tässä pro gradu -tutkielmassa todistetaan Rubinsteinin ja Sarnakin artikkelin tuloksia yksityiskohtaisesti. Artikkelissa ja tässä tutkielmassa osoitetaan olettaen samat konjektuurit, että δ(P_{a,b})>\frac{1}{2} jos ja vain jos a on neliönepäjäännös ja b neliönjäännös (mod q). Tämä ehto määrittää siis kaikki tapaukset, joissa alkulukuja qn+a määrän voi sanoa olevan yleensä suurempi kuin alkulukujen qn+b johonkin rajaan asti. Lisäksi osoitetaan, että δ(P_{q; a, b, c}) = \frac{1}{6} tietyissä tapauksissa, joiden uskotaan olevan ainoat mahdolliset. Rubinstein ja Sarnak osoittivat myös, että moduluksen kasvaessa alkulukujen kilpailut tasaantuvat moduluksen kasvaessa eli δ(P_{q; a_1, ... ,a_r}) → \frac{1}{r!}, kun q→ ∞. Tässä tutkielmassa todistetaan vastaava väite neliönjäännös- ja neliönepäjäännösalkulukujen väliselle vertailulle; tämä on myös mainitussa artikkelissa. Edellä mainittujen lauseiden todistusta varten johdetaan Rubinsteinin ja Sarnakin tulokaava alkulukujen vertailuun liittyvän mitan Fourier-muunnokselle. Yhdessä eksplisiittisen kaavan ja oletusten nojalla tämä mahdollistaa mitan ominaisuuksien hallitsemisen. Lopuksi arvioidaan edellä mainitun kaltaisten mittojen vähenemisnopeutta.
Luvussa 1 esitetään historiaa ja motivaatiota. Luvussa 2 todistetaan klassinen eksplisiittinen kaava funktioon π (x; q,a) läheisesti liittyvälle funktiolle. Luku 3 kertaa mittateorian tuloksia, joita käytetään apuna pääluvussa 4. |
fi |
| dct.language |
en |
|
| ethesis.language.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/languages/eng |
|
| ethesis.language |
English |
en |
| ethesis.language |
englanti |
fi |
| ethesis.language |
engelska |
sv |
| ethesis.thesistype |
pro gradu-avhandlingar |
sv |
| ethesis.thesistype |
pro gradu -tutkielmat |
fi |
| ethesis.thesistype |
master's thesis |
en |
| ethesis.thesistype.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/thesistypes/mastersthesis |
|
| dct.identifier.urn |
URN:NBN:fi-fe2017112251157 |
|
| dc.type.dcmitype |
Text |
|
