Työ sijoittuu yleisen topologian aihepiiriin ja käsittelee parakompakteja avaruuksia. Topologisen avaruuden X sanotaan olevan parakompakti, jos sen jokaisella avoimella peitteellä on lokaalisti äärellinen avoin hienonnus, joka myös peittää avaruuden X. Parakompaktius on näin ollen yleistys kompaktiuden käsitteelle. Ranskalainen matemaatikko J. Dieudonné määritteli parakompaktin avaruuden ensimmäistä kertaa vuonna 1944, ja parakompaktius löi tämän jälkeen nopeasti itsensä läpi kompaktiuden 'luonnollisena' ja ehkäpä tärkeimpänä yleistyksenä.
Tässä työssä keskitytään erityisesti siihen, miten parakompaktius liittyy ongelmaan mielivaltaisen topologisen avaruuden metristyvyyden karakterisoinnista. Vuosina 1950-1951 J. Nagata ja J. Smirnov nimittäin saivat parakompaktiutta hyödyntäen muotoiltua ensimmäistä kertaa tyydyttävän vastauksen tähän ongelmaan. Tämä tulos tunnetaan Nagatan-Smirnovin metristyvyyslauseena, ja sen mukaan mielivaltainen topologinen avaruus on metristyvä, jos ja vain jos se on säännöllinen ja sillä on σ-lokaalisti äärellinen kanta. Pian tämän jälkeen Smirnov todisti tätä tulosta hyödyntäen Smirnovin metristyvyyslauseen, jonka mukaan mielivaltainen topologinen avaruus on metristyvä, jos ja vain jos se on lokaalisti metristyvä, Hausdorff ja parakompakti.
Tarkemmin ottaen työn päätavoitteina on esitellä tärkeimmät perustiedot parakompakteista avaruuksista sekä todistaa Smirnovin metristyvyyslause. Tutkielma rakentuu siten, että aluksi työssä määritellään lokaalisti äärellinen kokoelma ja kokoelman hienonnus, minkä jälkeen siinä esitellään edellisten käsitteiden avulla muotoiltu parakompaktiuden määritelmä. Parakompaktiuden määritelmän jälkeen työssä esitellään parakompaktien avaruuksien tärkeimmät ominaisuudet. Tämän jälkeen työssä todistetaan edellisissä kohdissa saatuja tuloksia hyödyntäen Nagatan-Smirnovin metristyvyyslause sekä tätä käyttäen lopulta Smirnovin metristyvyyslause.
Lopuksi työssä pohditaan parakompaktiuden hyödyllisyyttä yleisesti, sekä muiden matematiikan alojen sovellusten että yleisen topologian itsessään kannalta. Ensimmäisestä annetaan esimerkkinä ykkösen ositukset ja jälkimmäisestä lukuisat parakompaktiuden käsitteen innoittamat yleistykset ja modifikaatiot, kuten metakompaktius ja numeroituva parakompaktius.
Työn päälähteenä on J. Munkresin teos Topology (2000). Tämän lisäksi työn tärkeimpinä lähteinä on käytetty lähinnä J. Väisälän teosta Topologia II (2005) ja J. Hockingin ja G. Youngin teosta Topology (1961).
