| dct.abstract |
Vuonna 1973 Fischer Black, Myron Scholes sekä Robert Merton esittivät uraauurtavissa artikkeleissaan omat vastauksensa kysymykseen, miten hinnoitella optio osakkeeseen. Optioksi sanotaan instrumenttia, joka antaa oikeuden, mutta ei velvollisuutta, ostaa tai myydä osake sovittuun hintaan sovitulla hetkellä tulevaisuudessa. Louis Bachelier oli jo 1900-luvun alussa pohtinut option hinnoittelun ongelmaa, mutta hänen työnsä ja ideansa jäivät pitkälti unohduksiin viiden vuosikymmenen ajaksi. Kysymys siitä, mikä olisi oikea hinta optiolle, nousi jälleen tutkijoiden kiinnostuksen kohteeksi 1950-luvulla, ja melko pian huomattiin, että matemaattinen rahoitusteoria oli kuin varta vasten rakennettu stokastisen analyysin sovellutukseksi. Kuitenkin vasta Blackin, Scholesin ja Mertonin artikkelit sekä Chicago Board of Options Exchangen, maailman isoimman ja vanhimman johdannaispörssin, avautuminen vuonna 1973, antoivat lähtölaukauksen johdannaisinstrumenttien sulautumiselle keskeiseksi osaksi rahoitusmarkkinoita ja matemaattista rahoitusteoriaa.
Blackin, Scholesin ja Mertonin esitettyä tapa hinnoitella optio osakkeeseen, oli luonnollista, että markkinatoimijoiden keskuudessa heräsi kiinnostus hinnoitella optioita myös muille kohde-etuuksille. Korko- ja lainamarkkinat ovat yksi osa-alue, johon liittyy suuri tarve muuttaa ja suojata tulevaisuudessa tapahtuvia rahavirtoja, esimerkiksi erilaisissa riskienhallintatarkoituksissa. Yksi mahdollinen tapa on käyttää johdannaisinstrumentteja. Ensimmäisiä korkojen ja korkojohdannaisten mallinnuksessa syntyneitä merkittäviä tuloksia oli Oldrich Vasicekin vuonna 1977 esittämä malli hetkelliselle korolle. Vasicek otti huomioon, että toisin kuin osakeoptioiden kohdalla, korko ei ole instrumentti, joka olisi kaupankäynnin kohteena, ja joukkovelkakirjat ovat jo itsessään johdannaisia korolle. Hän kuitenkin onnistui rakentamaan riskittömän salkun, kuten Black ja Scholes, ja päätyi Black-Scholes-osittaisdifferentiaaliyhtälöä muistuttavaan aikarakenneyhtälöön. Keskeisenä erona kuitenkin oli, että aikarakenneyhtälössä esiintyi yksi parametri lisää, velkakirjan maturiteetista riippumaton prosessi, jota kutsutaan riskin markkinahinnaksi.
Mallinnuksen kannalta ideaalinen lähtökohta olisi, että markkina olisi matemaattisessa mielessä reilu ja johdannaisille saataisiin yksikäsitteiset hinnat. Matemaattisen rahoitusteorian perustuloksien perusteella tällöin on oltava olemassa yksikäsitteinen mitta, jonka suhteen ennuste prosessin tulevien arvojen nykyarvosta olisi linjassa prosessin nykyisen arvon kanssa. Vasicek-mallin tapauksessa tämä ehto ei toteudu suoraan, vaan ensin on selvitettävä mikä parametrina esiintyvä riskin markkinahinta on.
Osoittautuu kuitenkin, että ratkaisu on hyvin samankaltainen kuin Blackin ja Scholesin mallissa, eli johdannaisen diskontattu odotusarvo sopivan mitan suhteen. Samankaltaisesta ratkaisusta huolimatta, on ratkaisun laskeminen Vasicek-mallissa huomattavasti hankalampaa. Odotusarvossa esiintyvä diskonttotekijä ja johdannainen ovat keskenään korreloituneita ja odotusarvon laskemiseksi olisi tunnettava näiden yhteisjakauma. Tämä ongelma on kuitenkin kierrettävissä sopivilla stokastisen analyysin työkaluilla, ja tehtävä pystytään palauttamaan yksiulotteiseen tapaukseen.
Vasicek-malli on olemassaolonsa aikana kerännyt myös paljon kritiikkiä. Sen kohtaamasta kritiikistä kenties painavin, on perusmallin huono sopivuus markkinoilta havaittujen korkojen kanssa. Tätä puutetta korjaamaan esitettiin useita Vasicek-malliin perustuvia laajennuksia, joista kuitenkin yleisin on Hullin ja Whiten vuonna 1994 esittämä malli, joka saadaan sopimaan täydellisesti havaittuihin diskonttotekijöihin. Tässä tutkielmassa Hull-White-laajennus johdetaan suoraan Vasicek-mallista käyttämällä Brigon ja Mercurion vuonna 2001 esittämää tekniikkaa. Hull ja White laajensivat mallia myös siten, että siinä voitiin ottaa huomioon myös diskonttotekijöiden tai korkokäyrän keskinäinen liikehdintä, ilman, että eri maturiteettien välillä olisi täydellinen korrelaatio. Tällaista laajennusta sanotaan useamman faktorin malliksi.
Tämän tutkielman tarkoituksena on esittää Vasicek-korkomalli ja sen laajennukset yhden ja kahden faktorin tapauksissa. Mallien keskeiset ominaisuudet johdetaan yksityiskohtaisesti. Tarvittava matemaattinen ja taloudellinen taustateoria tullaan myös esittelemään siinä laajuudessa, missä niitä tullaan tarvitsemaan mallin ominaisuuksien tutkimisessa. Mallien yksi keskeinen tarkoitus on hinnoitella erilaisia johdannaisia. Tässä tutkielmassa esitetään, kuinka mallien avulla voidaan joukkovelkakirjan lisäksi hinnoitella optio joukkovelkakirjaan, korkokatto ja -lattia, sekä optio koronvaihtosopimukseen edellä mainituissa yhden ja kahden faktorin malleissa. |
fi |
