Tämä Pro gradu -tutkielma käsittelee ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslausetta. Lause tullaan todistamaan topologian avulla.
Tutkielman ensimmäinen ja toinen luku käsittelee topologisia peruskäsitteitä. Aluksi määritellään jono ja metrinen avaruus, jonka jälkeen tarkastellaan erilaisia jonoja kuten Cauchyn jonoja ja funktiojonoja. Eritysti ollaan kiinnostuneita suppenevista jonoista, sillä niillä on monia matemaattisesti mielenkiintoisia ominaisuuksia. Toisen luvun loppupuolella tutustutaan tutkielman kannalta tärkeään käsitteeseen täydellisyys. Täydellisyys on siinä mielessä tärkeä käsite, että sen avulla voidaan keskittää tarkastelu kaikkiin suppeneviin Cauchyn jonoihin.
Kolmannessa luvussa tutustutaan käsitteeseen kiintopiste ja ennen kaikkea tarkastellaan Banachin kiintopistelausetta. Työssä esitettävä todistus lauseelle on melko suoraviivainen lasku. Lause itsessään on kuitenkin kovin mielenkiintoinen, sillä se takaa tietyn tyyppisille funktioille ratkaisun.
Tutkielman kruununa on neljännessä luvussa esitettävä todistus ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseelle. Todistuksen ideana on muokata differentiaaliyhtälöä siten, että voidaan hyödyntää Banachin kiintopistelausetta. Kun ratkaisun olemassaoloa tarkasteleva lause on saatu todistettua, tutkielmassa esitellään muutamia tapauksia, joissa olemassaololauseen antamaa tietoa on päästy hyödyntämään.
