Tutkielmassa todistamme, että valitut alueet ovat L^p-keskiarvoalueita. Aloitamme esittelemällä kvasihyperbolisen metriikan. Tarvitsemme metriikkaa koko tutkielman ajan. Kvasihyperbolinen metriikka on n-ulotteinen vastine standardille hyperboliselle metriikalle avaruudessa R^2. Todistamme, että kvasihyperbolinen metriikka on todella metriikka ja esitämme lyhyesti erittäin käyttökelpoisen arvion kvasihyperboliselle metriikalle. Toisen luvun lopussa esitämme L^p-keskiarvoalueen määritelmän, joka pohjautuu kvasihyperboliseen metriikkaan.
Kolmannessa luvussa osoitamme, että pallo avaruudessa R^n on L^p-keskiarvoalue. Pallossa kvasihyperbolinen metriikka on helppo laskea ja saammekin sille tarkan arvion. Kun siirrymme polaarikoordinaatteihin, induktiolla sekä dimension n että luvun p suhteen saamme osoitettua, että pallo on L^p-keskiarvoalue.
Neljännessä luvussa käsittelemme kolmiota tasossa. Kvasihyperboliselle metriikalle kolmiossa saamme laskettua hyvän arvion. Tutkielmassa laskemme ylärajan kvasihyperbolisen metriikan integraalille kolmiossa, kun potenssi p=1, p=2 ja p=3. Ennestään tiedämme, että kolmio on L^p-keskiarvoalue.
Viidennessä luvussa käsittelemme äärellistä piikkialuetta. Piikkiin olemme liittäneet kolmion, mutta se voisi olla mikä tahansa L^p-keskiarvoalue, kuten pallo tai kuutio. Kuitenkin koko alueen mitan tulee olla äärellinen. Todistuksen jälkeen osoitamme tärkeän lauseen. Se antaa yhden mahdollisen funktion, jolla voimme muodostaa halutun piikin S.
Lopuksi tutkimme äärettömyyteen jatkuvaa piikkiä. Piikki on jälleen rajattu kolmiolla, mutta se voisi olla pallo, kuutio tai kolmio jossain toisessa asennossa. Oleellista on, että koko alueen mitta on äärellinen. Laskut ovat vastaavat kuin rajoitetussa tapauksessa.
