Funktioteoriassa eräs keskeisimpiä kiinnostuksen kohteita on analyyttiset funktiot, jotka voidaan määritellä ns. Cauchyn-Riemannin operaattorin avulla. Tämän tutkielman tavoitteena on yleistää kompleksitason funktioteoria, analyyttiset funktiot ja niihin liittyvä Hardyn avaruuksien teoria korkeampiin ulottuvuuksiin. Tämä onnistuu määrittelemällä Diracin operaattori, joka on Cauchyn-Riemannin operaattorin korkeampiulotteinen yleistys ja joka operoi Cliffordin algebra -arvoisiin funktioihin. Cliffordin algebran alkiot voidaan taas ajatella kompleksilukujen korkeampiulotteisena yleistyksenä. Diracin operaattorin avulla määritellään Clifford-analyyttiset funktiot, joiden komponenttifunktiot ovat aina myös harmonisia.
Kuten kompleksitasossa, myös korkeampiulotteisessa tapauksessa analyyttisillä funktioilla on hyödyllisiä ominaisuuksia, joita ei välttämättä ole sellaisilla funktioilla, jotka ovat pelkästään harmonisia. Tästä syystä analyyttisten funktioiden teorian tutkiminen ja kehittäminen on merkityksellistä. Eräs tällainen ominaisuus on se, että analyyttisillä funktioilla on voimassa Cauchyn integraalikaava, joka saa Clifford-analyyttisten funktioiden tapauksessa yllättävän samankaltaisen muodon kuin tason tapauksessa. Cauchyn integraalikaava on tärkeässä roolissa tutkittaessa Hardyn avaruuksia.
Clifford-analyyttinen funktio kuuluu Hardyn avaruuteen Hp, mikäli sen eräänlainen Hp-normi on äärellinen. Tämän tutkielman lopullinen tavoite on tarkastella ylemmässä puoliavaruudessa analyyttisten funktioiden muodostamaa Hardyn avaruutta. Osoittautuu, että Hardyn avaruuden funktio F voidaan esittää Cauchy-integraalina funktiosta f, joka on ei-tangentiaalinen raja-arvo funktion F lähestyessä ylemmän puoliavaruuden reunaa. Tämä on tutkielman päätulos.
Esitiedoiksi lukijalle riittää varsin maltilliset perusteet reaali- ja kompleksianalyysista. Suurin osa käsitteistä ja tuloksista pyritään aina vähintäänkin kertaamaan ennen niiden käyttämistä.
