Tutkielmassa tarkastellaan satunnaisia Fourier-sarjoja ja niiden ominaisuuksia. Työ jakautuu kahteen osaan, joista ensimmäisessä tarkastellaan niin sanottuja Rademacher-kertoimisia Fourier-sarjoja, ja toisessa Brownin liikkeen konstruktiota satunnaisena Fourier-sarjana.
Rademacher-kertoimisessa sarjassa annettujen determinististen Fourier-kerrointen (c_n) eteen lisätään satunnainen etumerkki, eli satunnaiskerroin ε, jolle P(ε = 1) = P(ε = −1) = 1/2. Tarkasteltavat Fourier-sarjat on määritelty välillä [−π, π], joten Rademacher-sarja voidaan tulkita tällä välillä määritellyksi satunnaiseksi funktioksi, mikäli sarja suppenee melkein kaikkialla. Tällöin voidaan kysyä, millä todennäköisyydellä tällä funktiolla on jokin ominaisuus, kuten jatkuvuus tai integroituvuus.
Osoittautuu, että Rademacher-sarjan suppeneminen riippuu siitä, päteekö alkuperäisille kertoimille ehto (c_n)_{n=-∞}^∞ ∈ \ell^2. Osoitamme, että mikäli tämä ehto on voimassa, suppenee sarja melkein varmasti melkein kaikkialla ja lisäksi L^2 -mielessä, jolloin se määrittelee funktion F ∈ L^2 (−π, π). Melkein varman suppenemisen osoittamiseen on ainakin kaksi tietä, joista toinen nojaa martingaalien teoriaan. Käsittelemme molempia tapoja, ja esittelemme tutkielman alkupuolella tarvittavat martingaaliteorian tulokset.
Näytämme tämän jälkeen, että sarjan supetessa L^2 -mielessä pätee itse asiassa vahvempi ominaisuus e^λ|F|^2 ∈ L^1(−π, π) kaikilla λ ∈ [0, ∞). Tästä seuraa, että itse asiassa F kuuluu kaikkiin L^p -avaruuksiin arvoilla p ∈ [0, ∞). Tästä herää kysymys, päteekö tulos myös arvolle p = ∞. Konstruoimmekin osion lopuksi lakunaaristen Fourier-sarjojen avulla esimerkkejä funktioista F , joille yllä kuvatussa tilanteessa F ∈ L^p(−π, π) kaikilla p ∈ [0, ∞), mutta kuitenkin F \notin L^∞(−π, π).
Tarkastelemme tämän jälkeen tapausta (c_n)_{n=−∞}^∞ \notin \ell^2. Tällöin Rademacher-sarja melkein varmasti hajaantuu ja oskilloi melkein joka pisteessä x ∈ [−π, π] ja sarja melkein varmasti ei esitä mitään välin [−π, π] mittaa. Osoitamme kuitenkin, että mikäli kertoimet c_n kasvavat enintään polynomista vauhtia, on aina olemassa välin [−π, π] periodinen distribuutio, jonka Fourier kertoimet muodostavat jonon (c_n)_{n=−∞}^∞.
Tutkielman loppuosassa johdamme Brownin liikkeelle esityksen satunnaisena Fourier-sarjana. Käytämme tässä apuna Karhunen-Lòeve –Teoreemaa, joka antaa yleisen menetelmän satunnaisprosessin esittämiseksi satunnaisena sarjana. Todistamme aluksi Karhunen-Lòeve –Teoreeman ja tämän jälkeen johdamme Brownin liikeen KL-sarjakehitelmän, joka osoittautuu sini-sarjaksi, jossa kertoimet ovat normaalijakautuneita, riippumattomia satunnaismuuttujia.
