Tutkielmani tarkoituksena on esitellä Edward Nelsonin kehittämän internaalisen joukko-opin eli IST:n perusteet ja sen soveltaminen invarianttien aliavaruuksien ongelmaa koskevan Bernsteinin-Robinsonin lauseen todistukseen.
Epästandardi analyysi tarkoittaa Abraham Robinsonin kehittämää tapaa tehdä matemaattista analyysiä käyttäen hyväksi infinitesimaaleja eli äärettömän pieniä reaali- tai kompleksilukuja. Puhe infinitesimaaleista karkotettiin analyysistä 1800-luvulla, kun esimerkiksi raja-arvo määriteltiin epsilon-delta-menetelmällä. Infinitesimaalit voidaan tuottaa Robinsonin tapaan konstruoimalla reaaliluvuille ultrapotenssilaajennus eli hyperreaalilukujen kunta tai vaihtoehtoisesti olettamalla ne aksiomaattisesti, kuten Nelson teki.
Koska keskityn tutkielmassani Nelsonin internaaliseen joukko-oppiin, joka laajentaa tavallista joukko-opin teoriaa ZFC:tä, kertaan ZFC:n määritelmän ja sen perusteita, minkä jälkeen esittelen internaalisen joukko-opin perusteet. IST:n ideana on se, että siinä tuodaan joukko-opin kieleen uusi yksipaikkainen predikaattisymboli st, joka luetaan ''on standardi''. Uusia aksioomia ovat idealisaatioperiaate (I), standardisaatioperiaate (S) ja siirtoperiaate (T), jotka takaavat sen, että esimerkiksi infinitesimaalit ovat olemassa. Todistan joitakin infinitesimaalien perusominaisuuksia, kuten standardiosan olemassaolon.
Lisäksi todistan tärkeän tuloksen, IST:n konservatiivisuuden ZFC:n laajennuksena. Tämä tarkoittaa sitä, että kaikki tavallista matematiikka ja sen olioita, siis luonnollisia lukuja, reaalianalyysiä, lukuaπ ja niin edelleen, koskevat väitteet, jotka voidaan todistaa IST:ssä, voidaan todistaa myös standardein menetelmin. IST:n menetelmiä voi siis käyttää standardien väitteiden todistamiseen ja olla varma siitä, ettei ole todistanut mitään, mikä ei pidä paikkaansa. IST:n, ja epästandardin analyysin yleensäkin, hyöty on siinä, että ne usein yksinkertaistavat todistuksia. Tähän tarkoitukseen soveltuu esimerkiksi Nelsonin palautusalgoritmi, jonka myös esittelen.
Lopuksi esittelen Bernsteinin-Robinsonin lauseen, joka sanoo, että jos T on rajoitettu lineaarioperaattori ääretönulotteisessa, kompleksilukukertoimisessa Hilbertin avaruudessa H ja jos p(z)≠0 on kompleksilukukertoiminen polynomi, jolle p(T) on kompakti lineaarioperaattori, niin T jättää vähintään yhden H:n suljetun, epätriviaalin aliavaruuden invariantiksi. Todistan lauseen käyttämällä IST:tä.
