| dct.abstract |
Työn keskeisenä tavoitteena on osoittaa, että jokaisen kompaktin ja yhtenäisen moniston perusryhmällä on äärellinen esitys virittäjien ja relaatioiden avulla. Teoriapohjana käytetään metristen sekä yleisten topologisten avaruuksien teoriaa, jolloin kaikki tutut käsitteet, kuten jatkuvuus ja yhtenäisyys oletetaan tunnetuiksi. Työn ensimmäisessä luvussa käsitellään homotopiateorian perustiedot, jossa aluksi esitellään yleisen homotopian sekä polkuhomotopian käsitteet, minkä jälkeen siirrytään avaruuden perusryhmän määritelmään, ja määritellään kahden avaruuden perusryhmän välinen indusoitu homomorfismi. Tämän jälkeen siirrytään peitekuvausten, peiteavaruuksien sekä peitetransformaatioiden tarkasteluun, ja osoitetaan kuvauksen noston avulla, että yhtenäisen ja lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden perusryhmä on isomorfinen sen universaalipeiteavaruuden automorfismiryhmän kanssa. Lopuksi tarkastellaan vielä topologisten monistojen määritelmää, ja osoitetaan, että jokaisella yhtenäisellä monistolla on olemassa lokaalisti polkuyhtenäinen ja metristyvä universaalipeiteavaruus.
Työn toisessa luvussa tutustutaan lyhyesti topologisten transformaatioryhmien teoriaan, ja määritellään vahvan toiminnan käsite. Luvun aluksi määritellään ryhmän toiminnan sekä topologisen ryhmän käsite. Tämän jälkeen määritellään topologisten transformaatioryhmien käsite sekä rata-avaruuden käsite, ja näytetään, että rata-avaruuteen liittyvä kanoninen projektio on avoin kuvaus. Sen jälkeen siirrytään tarkastelemaan vahvan toiminnan käsitettä kahden eri määritelmän avulla, ja näytetään, että sopivilla oletuksilla ne yhtyvät toisiinsa. Luvun lopuksi palataan vielä edellisessä luvussa määriteltyihin peitetransformaatioiden käsitteeseen, ja osoitetaan, että yhtenäisen moniston kaltaisella avaruudella, jolle löytyy sopiva universaalipeiteavaruus, on olemassa vahva automorfismiryhmän määrittelemä toiminta kyseisessä universaalipeiteavaruudessa, ja tämän toiminnan määrittelemä rata-avaruus on kompakti.
Työn viimeisessä luvussa tarkastellaan perussysteemejä sekä vapaita ryhmiä, ja osoitetaan, että sopivilla oletuksilla annetulle ryhmälle löytyy äärellinen esitys. Luvun alussa määritellään topologiseen transformaatioryhmään liittyvä perussysteemi sekä tähän perussysteemiin liittyvä tekijäavaruus, minkä jälkeen osoitetaan, että sopivilla oletuksilla tämä tekijäavaruus on metristyvä ja siihen liittyvä toiminta on peitekuvaus. Tämän jälkeen siirrytään tarkastelemaan vapaan ryhmän käsitettä, ja osoitetaan, että se on hyvin määritelty, jonka jälkeen määritellään ryhmän esitys. Luvun lopuksi määritellään perusjoukon käsite, ja osoitetaan useamman välituloksen avulla, että annetulle ryhmälle, joka toimii sopivalla ominaisuuksilla varustetussa avaruudessa, löytyy äärellinen esitys. Lisäksi tutustutaan vielä parakompaktien avaruuksien käsitteeseen, ja näytetään, että tietyistä edellisen lauseen oletuksista voidaan luopua, jos ryhmän toiminta avaruudessa on vahva, ja rata-avaruus tunnetaan kompaktiksi. Yhdistämällä edellisissä luvuissa esiintyneitä tuloksia tähän tulokseen saadaan osoitetuksi, että jokaisen kompaktin ja yhtenäisen moniston perusryhmällä on äärellinen esitys. |
fi |
