Tutkielmassani käsitellään Burgersin yhtälön nimellä tunnettua kvasilineaarista osittaisdifferentiaaliyhtälöä, sekä paneudutaan osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriaan yleisemmin. Fyysikko Johannes Martinus Burgersin mukaan nimetyllä yhtälöllä voidaan kuvata häiriöiden etenemistä fluideissa, ja sitä voidaan soveltaa myös vaikkapa liikenneruuhkien kehittymisen analysointiin. Burgersin yhtälö on esimerkki yleisemmästä säilymislaista. Matemaattisessa fysiikassa säilymislakien mukaan eristetyssä systeemissä vuorovaikutustapahtumissa tiettyjen suureiden kokonaismäärät pysyvät muuttumattomina. Tunnetuin esimerkki säilymislakeihin liittyen on Noetherin lause, jonka mukaan suurella on vastaavuus tietyn systeemin symmetriaominaisuuden kanssa. Esimerkiksi nestedynamiikan Navier-Stokesin yhtälö on esimerkki epähomogeenisesta versiosta säilymislakia.
Tutkimukseni alussa esitellään Hamilton-Jakobin yhtälö, sekä sivutaan variaatiolaskentaa, Legendren muunnosta ja Euler-Lagrangen yhtälöitä. Näytetään, miten annettu osittaisdifferentiaaliyhtälö voidaan samaistaa karakteristiseen yhtälöryhmään, joka koostuu tavallisista differentiaaliyhtälöistä. Karakteristinen yhtälöryhmä johdetaan kvasilineaarisen osittaisdifferentiaaliyhtälön tapauksessa ja sille annetaan geometrinen tulkinta. Ensimmäisen luvun lopussa Hamilton-Jacobin yhtälö ratkaistaan Hopf-Lax kaavan avulla.
Toisessa ja kolmannessa luvussa esitellään Burgersin yhtälö ja ratkaistaan se karakteristisen yhtälöryhmän avulla. Saatu ratkaisu ei kuitenkaan päde kaikkialla, vaan tapauksissa, joissa karakteristiset käyrät kohtaavat ('shokkikäyrä'), Burgersin yhtälön ratkaisu vaatii ratkaisufunktion ehtojen heikentämistä ja ingraaliratkaisun määrittelemistä. Rankine-Hugoniot-ehto johdetaan ja sen avulla voidaan löytää ratkaisuja tilanteessa, jossa karakteristiset käyrät leikkaavat. Esittelen myös entropia-ehdon, jonka avulla karsitaan 'epäfysikaaliset' ratkaisut pois ja täten saadaan yksikäsitteinen ja yleinen ratkaisu Burgersin yhtälölle. Lopuksi todistan Lax-Oleinikin kaavan, joka antaa ratkaisun yleisemmälle ongelmalle. Lopuksi tälle ratkaisulle räätälöidään entropia-ehto, jotta siitä saadaan yksikäsitteinen.
