Tavoitteena tässä työssä on tutkia separoituvan Hilbertin avaruuden operaattoreiden jälkeä ja determinanttia. Lähdemme liikkeelle kuitenkin kompaktien operaattoreiden tarkastelulla ja johdamme kompaktien operaattoreiden perusominaisuudet ensimmäisessä luvussa. Tarkastelemme lyhyesti myös analyyttisiä vektoriarvoisia funktioita, sillä näiden avulla on kätevää todistaa analyyttinen Fredholm-alternatiivi, jota puolestaan käytämme kompaktin operaattorin spektriin liittyvien tulosten todistuksissa. Osoitamme myös, että kompaktilla operaattorilla on Hilbert-Schmidt-esitys sekä määrittelemme kompakteille operaattoreille singulaariarvot sekä singulaariarvojonon.
Toisessa luvussa tarkastelemme tarkemmin kompaktin operaattorin singulaariarvoja. Singulaariarvojonojen avulla saamme määriteltyä Schatten-luokat, joista tämän työn kannalta tärkeimmät ovat trace-luokka ja Hilbert-Schmidt-luokka. Osoitamme, että Schatten-luokat ovat Banachin avaruuksia norminsa suhteen.
Tämän työn tärkeimmät tulokset ovat kolmannessa luvussa. Määrittelemme trace-luokan operaattoreille ensin jäljen ja tämän jälkeen käyttäen Hilbertin avaruuden tensorituloja ja alternoivaa algebraa hyväksi, määrittelemme myös determinantin muotoa I + T oleville operaattoreille, missä T on trace-luokan operaattori. Osoitamme myös, että määrittelemillämme jäljellä ja determinantilla on useita samoja ominaisuuksia kuin äärellisulotteisilla vastineillaan. Luvun, ja samalla tämän työn, päätulos on Lidskiin lause, jonka mukaan trace-luokan operaattorin jälki on sen ominaisarvojen summa, kun ominaisarvojen kertaluku otetaan huomioon.
Lidskiin lauseen todistuksessa käytämme hyödyksi kompleksianalyysiä. Osoitamme, että z\mapsto \det(I + zT) on kokonainen funktio kun T on trace-luokan operaattori. Kyseisen funktion nollakohdilla ja operaattorin T ominaisarvoilla on läheinen yhteys. Näin ollen analyyttisten funktioiden ominaisuuksia saadaan käytettyä tutkittaessa operaattorin T ominaisarvoja.
Viimeisessä luvussa tarkastelemme rajoitettua tapausta, missä Hilbertin avaruutena on L^2(\mathbb{R}^n,m_n). Tällöin osoitamme, että Hilbert-Schmidt-operaattorit, samoin kuin trace-luokan operaattorit, ovat esitettävissä integraalioperaattoreina. Tärkeimpänä tuloksena osoitamme, että trace-luokan operaattorin jälki voidaan esittää integraalin avulla käyttäen hyväksi operaattorin integraaliesitystä.
