Tutkielmassa määritän triviaalin solmun ja p, q-torussolmun ryhmät eli niiden komplementin perusryhmät. Solmu on ympyrän upotus kolmiulotteiseen avaruuteen. Yksinkertaisinta solmua kutsutaan triviaaliksi solmuksi. Torussolmuksi K_{p,q} kutsutaan solmua, joka kiertyy kiinteän toruksen ympärille p kertaa pitkittäiseen suuntaan ja q kertaa poikittaiseen suuntaan.
Eräs solmuteorian keskeisistä kysymyksistä on, milloin kaksi solmua ovat keskenään ekvivalentteja. Invariantit ovat osittaisia vastauksia tähän kysymykseen: ne ovat solmujen funktioita, jotka saavat saman arvon ekvivalenteilla solmuilla. Invariantit voidaan jaotella kombinatorisiin eli solmukaavioihin perustuviin sekä topologisiin invariantteihin. Topologisista invarianteista tärkeimpiä on solmun ryhmä.
Esittelen tutkimuksessani ensin homotopian perusominaisuuksia ja perusryhmän käsitteen. Erityisesti kerron, miten selvitetään avaruuden deformaatioretraktin ja tuloavaruuden perusryhmä. Seuraavaksi osoitan, että ympyrän perusryhmä on ääretön syklinen ryhmä. Käyn myös läpi tutkielmassa tarvittavaa algebran käsitteistöä, erityisesti sen, miten ryhmän esityksen voi määrittää vapaan ryhmän, virittäjien ja relaattoreiden avulla.
Tutkielman ensimmäinen päätulos on polkuyhtenäisten avaruuksien perusryhmiä koskeva van Kampenin lause, jonka avulla voidaan määritellä avaruuden U ∪ V perusryhmä, kun avaruudet U, V ja U ∩ V ovat polkuyhtenäisiä ja epätyhjiä ja näiden avaruuksien perusryhmät tunnetaan. Tämän jälkeen tutkin solmujen ryhmiä. Ensin osoitan, että triviaalin solmun ryhmä on ääretön syklinen ryhmä, ja sen jälkeen määritän ympyrän perusryhmän ja van Kampenin lauseen avulla, että torussolmun K_{p,q} ryhmän eräs esitys on 〈 a, b | a^p = b^q 〉. Lopuksi pohdin yleisesti solmun ryhmän käyttöä invarianttina.
