| dc.date.accessioned |
2016-05-31T06:46:31Z |
und |
| dc.date.accessioned |
2017-10-24T12:22:00Z |
|
| dc.date.available |
2016-05-31T06:46:31Z |
und |
| dc.date.available |
2017-10-24T12:22:00Z |
|
| dc.date.issued |
2016-05-31T06:46:31Z |
|
| dc.identifier.uri |
http://radr.hulib.helsinki.fi/handle/10138.1/5525 |
und |
| dc.identifier.uri |
http://hdl.handle.net/10138.1/5525 |
|
| dc.title |
Exponential Sums and the Distribution of Prime Numbers |
en |
| ethesis.discipline |
Mathematics |
en |
| ethesis.discipline |
Matematiikka |
fi |
| ethesis.discipline |
Matematik |
sv |
| ethesis.discipline.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/44bc4f03-6035-4697-993b-cfc4cea667eb |
|
| ethesis.department.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/61364eb4-647a-40e2-8539-11c5c0af8dc2 |
|
| ethesis.department |
Institutionen för matematik och statistik |
sv |
| ethesis.department |
Department of Mathematics and Statistics |
en |
| ethesis.department |
Matematiikan ja tilastotieteen laitos |
fi |
| ethesis.faculty |
Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten |
sv |
| ethesis.faculty |
Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta |
fi |
| ethesis.faculty |
Faculty of Science |
en |
| ethesis.faculty.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/8d59209f-6614-4edd-9744-1ebdaf1d13ca |
|
| ethesis.university.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/50ae46d8-7ba9-4821-877c-c994c78b0d97 |
|
| ethesis.university |
Helsingfors universitet |
sv |
| ethesis.university |
University of Helsinki |
en |
| ethesis.university |
Helsingin yliopisto |
fi |
| dct.creator |
Merikoski, Jori |
|
| dct.issued |
2016 |
|
| dct.language.ISO639-2 |
eng |
|
| dct.abstract |
We study growth estimates for the Riemann zeta function on the critical strip and their implications to the distribution of prime numbers. In particular, we use the growth estimates to prove the Hoheisel-Ingham Theorem, which gives an upper bound for the difference between consecutive prime numbers. We also investigate the distribution of prime pairs, in connection which we offer original ideas.
The Riemann zeta function is defined as ζ(s) := \sum_{n =1}^{∞} n^{-s} in the half-plane Re s > 1. We extend it to a meromorphic function on the whole plane with a simple pole at s=1, and show that it satisfies the functional equation. We discuss two methods, van der Corput's and Vinogradov's, to give upper bounds for the growth of the zeta function on the critical strip 0 ≤ Re s ≤ 1. Both of these are based on the observation that ζ(s) is well approximated on the critical strip by a finite exponential sum \sum_{n =1}^{T} n^{-s} = \sum_{n =1}^{T} exp\{ -s log n \}. Van der Corput's method uses the Poisson summation formula to transform this sum into a sum of integrals, which can be easily estimated. This yields the estimate ζ(1/2 + it) = \mathcal{O} (t^{\frac{1}{6}} log t), as t → ∞. Vinogradov's method transforms the problem of estimating an exponential sum into a combinatorial problem. It is needed to give a strong bound for the growth of the zeta function near the vertical line Re s = 1.
We use complex analysis to prove the Hoheisel-Ingham Theorem, which states that if ζ(1/2 + it) = \mathcal{O} (t^{c}) for some constant c > 0, then for any θ > \frac{1+4c}{2+4c}, and for any function x^{θ} << h(x) << x, we have ψ (x+h) - ψ (x) ∼ h, as x → ∞. The proof of this relies heavily on the growth estimate obtained by the Vinogradov's method. Here ψ(x) := \sum_{n ≤ x} Λ (n) = \sum_{p^k ≤ x} log p is the summatory function of the von Mangoldt's function. From this we obtain by using van der Corput's estimate that the difference between consecutive primes satisfies p_{n+1} - p_{n} < p_{n}^{\frac{5}{8} + \epsilon} for all large enough n, and for any \epsilon > 0.
Finally, we study prime pairs, and the Hardy-Littlewood Conjecture on their distribution. More precisely, let π _{2k}(x) stand for the number of prime numbers p ≤ x such that p+2k is also a prime. The following ideas are all original contributions of this thesis: We show that the average of π _{2k}(x) over 2k ≤ x^{θ} is exactly what is expected by the Hardy-Littlewood Conjecture. Here we can choose θ > \frac{1+4c}{2+4c} as above. We also give a lower bound of π _{2k}(x) for the averages over much smaller intervals 2k ≤ E log x, and give interpretations of our results using the concept of equidistribution. In addition, we study prime pairs by using the discrete Fourier transform. We express the function π _{2k}(n) as an exponential sum, and extract from this sum the term predicted by the Hardy-Littlewood Conjecture. This is interpreted as a discrete analog of the method of major and minor arcs, which is often used to tackle problems of additive number theory. |
en |
| dct.abstract |
Esittelemme tutkielmassa kasvuarvioita Riemannin zeta-funktiolle kriittisessä nauhassa ja niiden soveltamista alkulukujen teoriaan. Kasvuarvioita käyttäen todistamme ylärajan peräkkäisten alkulukujen väliselle etäisyydelle. Lisäksi tutkimme alkulukuparien jakaumaa, johon liittyen esittelemme alkuperäisiä ideoita.
Riemannin zeta-funktio määritellään puolitasossa Re s > 1 suppenevana sarjana ζ(s) = \sum_{n= 1}^{∞} n^{-s}. Osoitamme, että zeta-funktio jatkuu koko tasossa meromorfiseksi funktioksi, jolla on yksinkertainen napa pisteessä s = 1. Esittelemme van der Corputin ja Vinogradovin menetelmät zeta-funktion kasvun arvioimiseksi kriittisessä nauhassa 0 ≤ Re s ≤ 1. Molemmat perustuvat havaintoon, että äärellinen eksponenttisumma \sum_{n =1}^{T} n^{-s} = \sum_{n =1}^{T} exp{ -s log n } aproksimoi hyvin zeta-funktiota kriittisellä nauhalla. Van der Corputin menetelmässä tämä eksponenttisumma muunnetaan Poissonin kaavan avulla summaksi integraaleista, jotka voidaan helposti arvioida. Tästä saadaan arvio ζ(1/2 +it) = \mathcal{O}(t^{\frac{1}{6}}log t ), kun t → ∞. Vinogradovin menetelmässä eksponenttisumman arvioiminen muunnetaan kombinatoriseksi ongelmaksi. Tätä tarvitaan, jotta saadaan vahva rajoitus zeta-funktion kasvulle pystysuoran Re s = 1 läheisyydessä.
Käytämme kompleksianalyyttisiä menetelmiä todistamaan Hoheiselin ja Inghamin lauseen. Sen mukaan jos ζ(1/2 + it) = \mathcal{O} (t^{c}) jollakin vakiolla c > 0, niin silloin kaikilla θ > \frac{1+4c}{2+4c} ja kaikilla funktioilla x^{θ} << h(x) << x pätee ψ(x+h) - ψ(x) ∼ h, kun x → ∞. Lauseen todistus nojaa vahvasti Vinogradovin menetelmästä saatuun arvioon. Tässä ψ(x) := \sum_{n ≤ x} Λ (n) = \sum_{p^k ≤ x} log p on von Mangoldtin funktion summafunktio. Käyttämällä van der Corputin menetelmästä saatua arviota tästä seuraa, että peräkkäisten alkulukujen väliselle erotukselle pätee p_{n+1} - p_{n} < p_{n}^{\frac{5}{8} + \epsilon} kaikilla tarpeeksi suurilla luvuilla n ja kaikilla \epsilon >0.
Tutkielman lopuksi tarkastelemme alkulukupareja ja Hardyn-Littlewoodin konjektuuria niitä koskien. Merkitköön π _{2k}(x) niiden alkulukujen p ≤ x määrää, joilla p+2k on myös alkuluku. Kaikki seuraavat ideat ovat alkuperäisiä. Osoitamme, että keskiarvo funktioista π _{2k}(x) yli lukujen 2k ≤ x^{θ} on asymptoottisesti sama kuin mitä Hardyn-Littlewoodin konjektuurin perusteella voidaan odottaa. Tässä vakio θ > \frac{1+4c}{2+4c} voidaan valita kuten yllä. Tämän lisäksi annamme alarajan funktioiden π _{2k}(x) keskiarvoille paljon pienempien välien 2k ≤ E log x yli ja tulkitsemme todistamiamme tuloksia käyttäen tasanjakautuneisuuden käsitettä. Tutkimme alkulukupareja myös käyttäen diskreettiä Fourier-muunnosta. Ilmaisemme funktion π _{2k}(n) eksponenttisummana, josta pystymme erottamaan termin, joka vastaa Hardyn-Littlewoodin konjektuuria. Tulkitsemme tämän diskreettinä versiona niin kutsutusta major/minor arc -menetelmästä, jota käytetään usein additiivisen lukuteorian ongelmien ratkaisemisessa. |
fi |
| dct.language |
en |
|
| ethesis.language.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/languages/eng |
|
| ethesis.language |
English |
en |
| ethesis.language |
englanti |
fi |
| ethesis.language |
engelska |
sv |
| ethesis.thesistype |
pro gradu-avhandlingar |
sv |
| ethesis.thesistype |
pro gradu -tutkielmat |
fi |
| ethesis.thesistype |
master's thesis |
en |
| ethesis.thesistype.URI |
http://data.hulib.helsinki.fi/id/thesistypes/mastersthesis |
|
| dct.identifier.urn |
URN:NBN:fi-fe2017112251206 |
|
| dc.type.dcmitype |
Text |
|
