Tutkielmassa käsitellään tason symmetriakuvauksia ja symmetriaryhmiä. Symmetriakuvaus on isometriakuvaus, joka kuvaa tason pistejoukon tai kuvion itselleen. Symmetriakuvaukset muodostavat ryhmän, jonka laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Tutkielmassa osoitetaan, että tason symmetriaryhmät voidaan jakaa kolmeen eri luokkaan: Äärellisiin symmetriaryhmiin, Frieze-ryhmiin ja kristallografisiin symmetriaryhmiin.
Tutkielman alussa aiheeseen paneudutaan geometrisin menetelmin. Luvussa 2 osoitetaan tunnettu tulos, jonka mukaan jokainen tason isometriakuvaus on joko kierto, siirto, peilaus tai siirtopeilaus. Luvussa esiteltyjä isometriakuvausten tuloksia käytetään myöhemmin symmetriaryhmiin liittyvien lauseiden todistuksissa.
Kolmannessa luvussa määritellään muutamia ryhmäteorian peruskäsitteitä. Yksi aliluku on omistettu vapaille ryhmille sekä ryhmien määrittelemiseen ryhmän virittäjien ja virittäjien relaatioiden kautta. Kolmannen luvun päätulos kertoo, että jokainen tason äärellinen symmetriaryhmä on isomorfinen joko syklisen ryhmän tai diedriryhmän kanssa.
Luvussa 4 määritellään puolisuora tulo, jonka avulla ryhmä voidaan ilmoittaa kahden sen aliryhmän tulon ja konjugoivan toiminnan avulla. Lisäksi isometriakuvauksille esitetään algebrallisia tulkintoja ja katsotaan, miten ne konjugoivat toisiaan. Lopuksi esitellään symmetriaryhmien keskeinen aliryhmä siirtoryhmä, joka koostuu pelkistä siirroista. Siirtoryhmät määritellään siten, että ne ovat diskreettejä eli niissä ei voi olla mielivaltaisen lyhyitä siirtoja. Diskreettisyydestä seuraa, että jokaisen tason symmetriaryhmän siirtoryhmä on isomorfinen joko triviaalin aliryhmän, kokonaislukujen ryhmän tai kokonaislukujen ryhmän karteesisen tulon itsensä kanssa.
Luvussa 5 paneudutaan syvemmin jälkimmäiseen tapaukseen ja luetellaan kaikki 17 erilaista kristallografista symmetriaryhmää. Luvussa on todistettu kristallografinen ehto, joka rajaa kristallografisten symmetriaryhmien kierrot tarkasti. Luettelointi on toteutettu jakamalla ryhmät puolisuoraksi tuloksi ja tutkimalla, miten kierrot ja peilaukset tai siirtopeilaukset konjugoivat ryhmän virittäviä siirtoja. Jokaiselle ryhmälle on annettu myös geometrinen tulkinta.
