Tässä pro gradu -tutkielmassa tutustutaan matriisin singulaariarvohajotelmaan ja sen tärkeimpiin ominaisuuksiin ja sovelluksiin. Tutkielman alkupuoli käsittelee tarvittavia esitietoja ja matriisin singulaariarvohajotelmaa ja loppupuolella tutustutaan singulariarvohajotelman moniin sovelluksiin.
Ensin käydään läpi tarvittavia esitietoja kuitenkin olettaen, että lukija hallitsee lineaarialgebran perusasiat. Tutustutaan myös erilaisiin matriiseihin johdatteluna singulaariarvojen ja singulaariarvohajotelman käsitteisiin. Seuraavaksi käydään lyhyesti läpi singulaariarvot ja siirrytään sitten itse singulaariarvohajotelmaan. Todistetaan hajotelma ja opitaan myös muodostamaan singulaariarvohajotelma mielivaltaiselle matriisille. Tutustutaan vielä hajotelmaan liittyviin singulaarivektoreihin, jotka ovat tärkeässä roolissa lukuisissa sovelluksissa.
Seuraavaksi käydään läpi singulaariarvohajotelman ominaisuuksia. Käydään läpi useissa sovelluksissa käytettävä vähennetty singulaariarvohajotelma ja singulaariarvohajotelman geometrinen tulkinta, sekä keskeisten aliavaruuksien kannat.
Viimeisissä kahdessa luvussa tutustutaan singulaariarvohajotelman sovelluksiin lineaarialgebrassa, tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä ja kuvankäsittelyssä. Käsittelyssä ovat matriisin asteen määrittäminen, häiriäalttius, pienimmän neliösumman ratkaisu, pääkomponenttianalyysi, datan pakkaus ja kohinan poisto.
