Tämän tutkimuksen tavoite on selvittää kirjallisuuteen perehtyen, millaisia virhekäsityksiä yläkouluikäisillä oppilailla on yhtälön ratkaisuun liittyen. Kirjallisuuden pohjalta muodostetaan näkemys siitä, mistä erilaiset virheelliset käsitykset johtuvat ja millä tavoin virheelliset käsitykset ovat selitettävissä. Kerätyn aineiston pohjalta muodostetaan ajatus siitä, mitä yhtälöiden opetuksessa tulisi ottaa huomioon, jotta virheellisiä käsityksiä voitaisiin välttää ja yhtälöiden opiskelu olisi menestyksekästä.
Laajan aineiston keruun perusteella tarkasteltavat virhekäsitykset on jaettu viiteen eri luokkaan. Näitä ovat algebralliset kirjaimet, yhtäsuuruusmerkki, erilaiset luvut, operaatiomerkit ja yhtälön ratkaisuun liittyvät perusperiaatteet. Virhekäsityksien syitä selitetään ja analysoidaan pääosin didaktisen katkoksen, matemaattisen käsitteen duaaliluonteen ja matematiikan kolmen maailman avulla.
Yhtälön ratkaisussa ilmenevät virhekäsitykset johtuvat usein keskeisten käsitteiden puutteellisesta ymmärryksestä. Näitä ovat muuttuja, yhtäsuuruusmerkki ja negatiiviset luvut. Oppilaiden aiemmat kokemukset aritmetiikasta aiheuttavat virheellisiä tulkintoja yhtälön ratkaisussa.
Virhekäsitykset näyttävät johtuvan rakenteellisen ja konseptuaalisen tiedon puutteesta sekä ruumiillisen ja symbolisen maailman välisestä kuilusta. Yhtäsuuruusmerkki, negatiiviset luvut ja murtoluvut ymmärretään proseduraalisesti. Muuttujia ei ymmärretä objekteina, joilla on merkitys sinänsä. Yhtälön ratkaisu nähdään oppilaiden, mutta myös opettajien näkökulmasta, proseduraalisena ja symbolisena toimintana, jolloin rakenteellisiin piirteisiin ei kiinnitetä riittävästi huomiota. Yhtälön ratkaisuun liittyville perusperiaatteille ei osata antaa merkityksiä, vaan ne painetaan mieleen muistisääntöinä.
Yhtälöiden opetuksessa tulisi keskittyä proseduraalisen suorittamisen sijaan rakenteelliseen ja käsittelliseen ymmärtämiseen. Uusi asia tulee rakentaa aiempien kokemusten varaan, jotta käsitekuva yhtälöön liittyvistä keskeisistä käsitteistä voi laajentua. Yhtälön ratkaisussa tulee erityisesti huomioida oppilaiden aritmeettisen taustan vaikutukset keskeisten käsitteiden tulkintoihin. Muuttujaan, yhtäsuuruusmerkkiin ja negatiivisiin lukuihin liittyvät ennakkokäsitykset on hyvä selvittää ennen yhtälöihin siirtymistä. Kirjain tulee ymmärtää määrällisenä muuttujana, yhtäsuuruusmerkki kahden lausekkeen suhteen ilmaisijana ja negatiivinen luku objektina, jossa miinusmerkki on olennainen osa lukua. Symbolisen ja havainnollistavan esitysmuodon välille tulee rakentaa mielekkäitä siltoja. Yhtälön ratkaisussa käytettyjä menetelmiä tulee arvioida kriittisesti ja eri opetusmenetelmien rajoitukset on hyvä tiedostaa.
