Tässä tutkielmassa käyn läpi Nashin tasapainoteorian. Työn karkea rakenne etenee seuraavassa järjestyksessä. Ensimmäinen kappale on johdanto. Toisessa kappaleessa käyn lävitse spernerin lemman, jonka avulla todistan Brouwerin kiintopistelauseen. Brouwerin kiintopistelauseella todistan Kakutanin kiintopistelauseen, jonka avulla todistetaan Nashin lause. Tutkielmassa pyrin esittelemään tarvittavat määritelmät ja todistamaan tulokset, jotka vaaditaan yllä mainittujen lauseiden ymmärtämiseen. Suurin osa keskittyy kuitenkin lukuun 3, jossa aloitetaan tutkielman peliteoreettinen osuus.
Tämän kappaleen aluksi käydään pintapuolisesti lävitse mitä peliteoria pitää sisällään. Esittelen yleisesti hyväksytyt Von Neumannin ja morgensternin aksioomat, jotka pohjustavat minkälaisia oletuksia ihmisten päätöksentekokyvyistä ja käyttäytymisestä peliteoriassa voidaan ja pitää tehdä. Tällaisia käyttäytymiseen ja päätöksentekoon liittyviä käsitteitä ovat muunmuassa rationaalisuus ja jatkuvuus. Tuloksena aksioomeista saadaan hyvin määritelty tulosfunktio, jolla pystytään määrittämään eri pelitilanteiden "mielekkyys" yksittäiselle pelaajalle.
Tämän jälkeen keskityn esittelemään käsitteitä kuten Tulosfunktioon liittyvä tuloksen maksimoiva funktio. Pyrin esittelemään Nashin Tasapainoa erilaisten esimerkkien kautta ja demonstroimaan, että Nashin tasapainon olemassaolo on yhtäpitävää sen kanssa, että tuloksen maksimoivalla funktiolla on kiintopiste. Kaksi tärkeää konseptia ovat, puhdas strategia ja sekastrategia. Ensimmäinen on pelityyppi, jossa strategiat ovat valittavissa, toisessa strategioihin liittyy painotus, jolle voidaan antaa erilaisia tulkintoja riippuen kontekstista. Nashin lause sanoo, että kaikilla normaalimuotoisilla peleillä on olemassa sekastrategiaprofile, joka on Nashin tasapaino. Tämän todistamiseksi käytämme kakutanin kiintopistelausetta.
