Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä ympyrällisiä nelikulmioita, tutustua niiden ominaisuuksiin sekä tutkia niiden duaalisuutta tavallisessa euklidisessa tasogeometriassa. Ympyrälliset nelikulmiot ovat sellaisia nelikulmioita, joilla on sisä- tai ympärysympyrä. Sisäympyrällisen nelikulmion sisään voidaan piirtää ympyrä siten, että se sivuaa jokaista nelikulmion sivua. Ympärysympyrällinen nelikulmio on taas sellainen, jonka jokainen kärkipiste sijaitsee sen ympäri piirretyn ympyrän kehällä. Tutkielmassa näistä tullaan käyttämään käsitteitä tangentiaalinen ja syklinen nelikulmio. On olemassa kuitenkin myös sellaisia nelikulmioita, joilla on sekä sisä- että ympärysympyrä. Näitä kutsutaan nimellä bisentrinen nelikulmio. Ympyrällisten nelikulmioiden ominaisuuksien lisäksi tarkastellaan lyhyesti, mitkä tavallisimmista nelikulmioista ovat ympyrällisiä nelikulmioita. Tutkielmassa rajoitutaan konvekseihin nelikulmioihin, joita tangentiaalinen ja bisentrinen nelikulmio luonnostaan jo ovat.
Vaikka ympyrällisiä nelikulmioita ja niiden ominaisuuksia on tutkittu jo antiikin Kreikan ajoilta, nykyajan interaktiiviset geometriset ohjelmistot, kuten GeoGebra, antavat mahdollisuuden tutkia niitä huomattavasti helpommin ja tehokkaammin. 2000-luvulla löydettyjä uusia tuloksia ja todistuksia julkaistaan vuosittain esimerkiksi Forum Geometricorum -nimisessä vertaisarvioidussa verkkojulkaisussa. Osa näistä tuloksista on todistettu käyttäen apuna analyyttista geometriaa tai trigonometriaa, mutta tässä tutkielmassa on pyritty pitäytymään puhtaasti geometrisissa todistuksissa. Seuratakseen tutkielmaa lukija tarvitsee koulumatematiikan antamat perustiedot tavallisimpien euklidisten tasokuvioiden ominaisuuksista, yhtenevyyskriteereistä ja yhdenmuotoisuuslauseista. Muut ympyrällisten nelikulmioiden ominaisuuksien todistamisessa käytettävät lauseet tullaan todistamaan erikseen luvussa kaksi. Tutkielma soveltuu siis hyvin muun muassa geometriasta syvemmin kiinnostuneille lukiolaisille, matematiikkaolympialaisiin osallistuville sekä matematiikan aineenopettajille ja aineenopettajaksi opiskeleville.
Aiheeseen liittyvistä nimetyistä lauseista todistetaan muun muassa Pitot'n, Ptolemaioksen ja Fuss'n lauseet. Pitot'n lause kertoo käytännössä sen, että jos konveksilla nelikulmiolla on sisäympyrä, niin sen vastakkaisten sivujen summat ovat samat. Sama pätee myös toiseen suuntaan, joten sen avulla voidaan tutkia nelikulmion tangentiaalisuutta sivujen pituuksien perusteella. Ptolemaioksen lause sanoo, että jos konveksilla nelikulmiolla on ympärysympyrä, niin sen vastakkaisten sivujen tulojen summa on sama kuin lävistäjien tulo. Tämäkin pätee toiseen suuntaan ja sen suurin hyöty koskettaa syklisen nelikulmion lävistäjien pituuksia. Fuss'n lauseella saadaan määriteltyä bisentrisen nelikulmion keskipisteiden välinen etäisyys sen sisä- ja ympärysympyrän säteiden avulla. Toisaalta huomataan myös, että kyseinen etäisyys voidaan ilmaista pelkästään sivujen pituuksien avulla.
Tutkielman lopussa johdetaan ympyrällisten nelikulmioiden duaalisuuteen perustuen lauseita, joita ei kirjallisuudesta löytynyt. Samalla käydään läpi sitä prosessia, miten niihin päädyttiin. Tullaan huomaamaan, että projektiivisessa geometriassa esiintyvän duaalisuusperiaatteen kaltainen 'rajoitetumpi duaalisuus' esiintyy varsin usein euklidisessa tasogeometriassa, jota voidaan hyödyntää uusien konjektuurien ja lauseiden muodostamisessa. Lopuksi tarkastellaan vielä rinnakkain tangentiaalisen ja syklisen nelikulmion välillä vallitsevia duaaleja lauseita sekä miten tavallisten ympyrällisten nelikulmioiden duaalit nelikulmiot ja hierarkkisuus voidaan havainnollistaa symmetrisesti niiden parissa työskenteleville.
