Ryhmien luokittelu on yksi ryhmäteorian keskeisiä kysymyksiä. Sanotaan, että kaksi ryhmää ovat isomorfiset, jos niiden välille löytyy bijektiivinen homomorfismi. Jos kaksi ryhmää ovat isomorfiset, niin niiden ominaisuudet ovat algebrallisessa mielessä samanlaiset. Arkikielellä selitettynä näiden ryhmien laskutoimitustaulut saadaan näyttämään samanlaisilta, jos vain osataan järjestää taulujen alkiot oikeaan järjestykseen. Tämän pro gradun keskeisimpänä tavoitteena on luokitella kaikki kertalukuja 1-15 olevat ryhmät.
Työssä paljon käytettyjä työkaluja ovat esimerkiksi Lagrangen lause, Sylowin lause sekä Cauchyn ja Cayleyn lauseet. Jonkin verran myös lukuteoriaa tarvitaan.
Luokittelun tuloksena saadaan kertalukuluokat: p, pp, 2p ja pq, missä p ja q ovat alkulukuja. Kertaluvut 8 ja 12 käsitellään omina tapauksinaan. Esimerkkinä mainittakoon kertalukua 10=2*5 olevat ryhmät, joita on kaksi erilaista: jäännösluokkaryhmä Z10 ja diedriryhmä D10. Työssä todistetaan, että jos valitaan mikä tahansa tätä kertalukua 10 oleva ryhmä, niin tämä ryhmä on aina isomorfinen joko ryhmän Z10 tai ryhmän D10 kanssa ja muita vaihtoehtoja ei ole.
Huomautettakoon, että tutkielmassa saatavien tulosten avulla saadaan paljon enemmänkin kuin ensimmäiset 15 kertalukua todistettua. Itse asiassa ääretön määrä, sillä alkulukuja on äärettömän paljon (Eukleides). Tutkielman lopussa käsitellään hieman myös suurempia kertalukuja ja äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelua.
