Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua täydellisiin lukuihin ja niiden ominaisuuksiin. Täydellisiin lukuihin liittyy matematiikan avoimia ongelmia, kuten parittomien täydellisten lukujen olemassaolo tai parillisten täydellisten lukujen lukumäärä.
Tutkielmassa ensin määritellään sigmafunktio luvun positiivisten tekijöiden summaksi. Lisäksi osoitetaan sigmafunktion multiplikatiivisuus, jonka avulla saadaan kaava sigmafunktion arvon laskemiseksi, kun tunnetaan luvun alkutekijähajotelma. Tämän jälkeen osoitetaan sigmafunktion arvon suuruuteen liittyviä tuloksia.
Kolmannessa luvussa täydelliset luvut määritellään sigmafunktion avulla. Luku on täydellinen, jos sen sigmafunktion arvo on yhtä suuri kuin kaksi kertaa luku itse eli toisin sanoen luku on täydellinen, jos sen positiivisten tekijöiden summa on kaksi kertaa luku itse. Tämän voi myös muotoilla toisella tavalla: luku on täydellinen, jos se on itseään pienempien positiivisten tekijöidensä summa. Esimerkiksi luku kuusi on täydellinen, sillä 6=1+2+3, jossa luvut 1, 2 ja 3 ovat luvun kuusi itseään pienemmät positiiviset tekijät. Kolmannessa luvussa osoitetaan myös esimerkiksi, että täydellisten lukujen tekijöiden käänteislukujen summa on kaksi.
Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides-Euler-teoreema, jonka mukaan luku on täydellinen, jos ja vain jos se on muotoa 2^(p-1) (2^p-1), jossa 2^p-1 on alkuluku. Tämän jälkeen osoitetaan parillisten täydellisten lukujen ominaisuuksia liittyen niiden esittämiseen summana, kuten että jokainen parillinen täydellinen luku voidaan esittää summana 1+2+..+(2^p-1). Lisäksi osoitetaan parillisten täydellisten lukujen kongruenssiominaisuuksia, kuten että jokainen parillinen täydellinen luku loppuu numeroon 6 tai 8.
Tutkielman viidennessä luvussa käsitellään erikseen parittomia täydellisiä lukuja. Ensin osoitetaan, että jokaisen parittoman täydellisen luvun alkutekijähajotelmassa on täsmälleen yksi alkutekijä, jonka eksponentti on pariton. Luvussa osoitetaan, että sekä alkutekijä, jonka eksponentti on pariton, että kyseinen eksponentti ovat kongruentteja luvun yksi kanssa modulo neljä. Tämän jälkeen osoitetaan Touchardin teoreema, jonka mukaan jokainen pariton täydellinen luku on joko kongruentti luvun yksi kanssa modulo 12 tai kongruentti luvun yhdeksän kanssa modulo 36. Touchardin teoreemaa myös hieman tarkennetaan. Touchardin teoreeman avulla osoitetaan, että jokainen täydellinen luku, joka on jonkin kokonaisluvun kuutio, on pariton ja jaollinen kolmella.
Tutkielman viimeisessä luvussa määritellään runsausfunktio ja luvun runsaus. Näin täydelliset luvut ovat vain yksi esimerkki runsaudesta: täydelliset luvut ovat lukuja, joiden runsaus on kaksi. Luvussa osoitetaan useita runsausfunktion ominaisuuksia, kuten runsausfunktion multiplikatiivisuus. Näiden ominaisuuksien avulla osoitetaan esimerkiksi, että luku 3^2 7^2 11^2 13^2 m ei ole täydellinen millään kokonaisluvulla m.
