Tässä tutkielmassa perehdytään niin sanottuun ylimartingaalin hajotelmaan max–plus-algebrassa ja sovelletaan sitä amerikkalaisiin optioihin. Tulokset esitellään pääosin jatkuvassa aika-avaruudessa, mutta myös diskreetin ajan tuloksia käsitellään.
Markkinoilla myytävissä optioissa kiinnostavaa ovat se, milloin optio kannattaa käyttää ja se, milloin option myyjä voi saada voittoa. Amerikkalaisen option haltija voi käyttää option milloin tahansa sen voimassaoloaikana. Ylimartingaalin hajotelma max–plus-algebrassa takaa tietynlaisille stokastisille prosesseille sen, että amerikkalaisen option optimointiongelma voidaan ratkaista laskematta option hintaa, toisin sanoen optimaalisen pysäytyshetken etsiminen helpottuu. Jatkuvan ajan tulokset on esitelty Nicole El Karouin ja Asma Mezioun artikkelissa Max-plus Decomposition of Supermartingales and Convex Order. Application to American Options and Portfolio Insurance vuonna 2007. D. A. Darling, T. Liggett ja H. M. Taylor käsittelivät artikkelissaan Optimal Stopping Time for Partial Sums samaa asiaa diskreetissä ajassa jo vuonna 1972.
Max–plus-algebra on eksoottinen algebra, jossa on kaksi operaatiota ⊕ = max ja ⊗ = +. Monet normaalissa algebrassa hankalat laskelmat onnistuvat max–plus-algebrassa helposti. Ylimartingaalin hajotelma max–plus-algebrassa mahdollistaa monenlaisia sovelluksia amerikkalaisen option lisäksi muun muassa matemaattisessa fysiikassa ja tietoliikenneverkoissa.
Tutkielma etenee siten, että aluksi määritellään todennäköisyysavaruus ja tuodaan avaruuteen mukaan tarpeellisia ominaisuuksia kuten historia, ja esitellään muun muassa martingaalit. Amerikkalaisiin optioihin perehdytään siinä laajuudessa kuin päätulosten kannalta on tarpeellista. Tämän jälkeen tutustutaan max–plus-algebraan ja sen algebrallisiin ominaisuuksiin sekä ylimartingaalin hajotelmaan max–plus-algebrassa jatkuvassa aika-avaruudessa. Tulosta sovelletaan amerikkalaisiin osto-optioihin sekä jatkuvassa että diskreetissä avaruudessa. Tutkielmassa karakterisoidaan optimaalinen pysäytyshetki ylimartingaalin max–plus-hajotelman indeksiprosessin suhteen, missä oletukseksi tarvitaan multiplikatiivinen eli geometrinen Lévy-prosessi. Ensin osoitetaan se, että arvofunktiota ei tarvitse laskea optimaalisen pysäytyshetken ratkaisemiseksi. Sitten huomataan, että äärellisen maturiteetin tapaus on monimutkaisempi kuin äärettömän tapaus. Esimerkkejä käsitellään sekä geometrisesta Brownin liikkeestä että multiplikatiivisesta Lévy-prosessista. Myyntioptiota käsitellään lyhyesti ja pelkästään jatkuvassa aika-avaruudessa, sillä se saadaan osto-optiosta helpolla todennäköisyysmitan vaihdolla. Viimeiseksi kootaan tutkielman tulokset tiiviisti yhteen.
