Kun käytännön ongelmia kirjoitetaan matematiikan kielelle, törmätään usein integraaliyhtälöihin, eteenkin fysiikan ja tekniikan parissa työskennellessä. Integraaliyhtälössä tuntematon, ratkaistava funktio on integraalin sisällä. Tässä tutkielmassa käsitellään integraaliyhtälöiden teoriaa operaattoriyhtälöiden muodossa.
Työskennellessä inversio-ongelmien parissa käytössä oleva informaatio, data voi olla heikkoa tai liian vähäistä, jotta alkuperäisestä, ratkaistavasta ilmiöstä tai asiasta saataisiin riittävän oikeanlainen kuva. Ratkaisu ei välttämättä ole yksikäsitteinen, jolloin ratkaisun löytämiseksi on käytettävä regularisointia. Tässä tutkielmassa johdetaan Tikhonovin regularisointimenetelmä ja esitellään lyhyesti sen käyttöä ilmakehän kaasukoostumuksen määrittämisessä.
Tutkielma alussa on kertauksenomaisesti tärkeitä käsitteitä vektori- ja normiavaruuksissa. Sen jälkeen paneudutaan erilaisiin operaattoreihin vektoriavaruuksissa. Viimeisenä asiana operaattoreista esitellään duaalinen systeemi ja todistetaan Fredholmin alternatiivi.
Toisessa puoliskossa johdatellaan lukija huonosti määriteltyjen inversio-ongelmien pariin ja johdetaan Tikhonovin regularisointi. Näytetään myös, miten Tikhonovin regularisoinnin avulla voidaan konstruktoida ensimmäinen derivaatta häiriöisistä mittaustuloksista muodostetulle funktiolle.
Tutkielman lopussa kerrotaan, miten ilmakehän koostumusta mitataan satelliitissa. Näytetään myös, miten Tikhonovin regularisointia voidaan käyttää kyseisten mittaustulosten analysoinnin yhteydessä.
