Tämä pro gradu -tutkielma käsittelee reaalilukujen konstruointia lähtien liikkeelle suppenevista rationaalilukujonoista. Reaaliluvut voidaan konstruoida useilla eri tavoilla. Tässä tutkielmassa esiteltävän tavan on ensimmäisenä esittänyt Georg Cantor 1800-luvun jälkipuoliskolla.
Tutkielman aluksi käydään läpi joukko peruskäsitteitä, joita tarvitaan myöhemmin itse aiheen tarkastelussa. Aiheen käsittely aloitetaan kokonaislukujen joukosta, josta lähtien konstruoidaan rationaaliluvut. Kun näin on pohjustettu rationaalilukujen joukko, siirrytään reaalilukujen konstruointiin rationaalilukujen avulla.
Reaalilukujen konstruointiprosessissa lähtökohtana ovat suppenevat rationaalilukujonot. Lukujonon suppeneminen tarkoittaa, että lukujonolla on raja-arvo. Havaitaan, että kaikille suppeneville rationaalilukujonoille ei kuitenkaan löydy raja-arvoa rationaalilukujen joukosta. Toisin sanoen raja-arvo on olemassa, mutta se ei ole rationaalinen. Lisäksi havaitaan, että useat eri rationaalilukujonot suppenevat kohti kutakin samaa raja-arvoa. Ekvivalenssirelaation avulla jonot voidaan jakaa luokkiin. Samaan luokkaan kuuluvat jonot, joilla on sama raja-arvo. Kun vielä määritellään näille suppenevien rationaalilukujonojen ekvivalenssiluokille yhteen- ja kertolaskutoimitus, on konstruointiprosessi miltei valmis. Konstruointiprosessin lopuksi määritellään edellä saadut ekvivalenssiluokat reaaliluvuiksi.
Tutkielman lopussa tutkitaan, toteuttavatko edellisen luvun konstruktit reaalilukuaksioomat, ja ovatko ne siten reaalilukuja. Käymällä aksioomat läpi yksi kerrallaan päädytään tulokseen, että konstruktit todella ovat reaalilukuja.
Viimeiseksi todetaan vielä, että rationaalilukujen ja rationaalisten reaalilukujen välille voidaan asettaa bijektiivinen kuvaus, joka säilyttää laskutoimitukset ja järjestyksen. Näin ollen rationaalilukujen joukko voidaan käsittää reaalilukujen osajoukoksi ja kääntäen reaalilukujen joukko rationaalilukujoukon laajennukseksi.
