Käännepiste on funktion kuvaajan piste, jossa kuvaaja muuttuu konkaavista konveksiksi, tai toisin päin. Toisin sanoen kuvaajan kaarevuussuunta muuttuu.
Lukiossa käsitellään funktion jatkuvuutta, derivoituvuutta, ja tulkitaan kuvaajaa. Kuvaajan kaarevuuden käsittely tukee kuvaajan monipuolisempaa ymmärtämistä, ja sitä kautta eheyttää funktion, funktion kuvaajan, kuvaajan tulkinnan ja derivaatan käsitteen ymmärrystä. Tämä olisi ensiarvoisen tärkeää eheän ymmärtämisen saavuttamiseksi. Tähän tarkoitukseen käännepisteen käsittely lukiossa toimisi erittäin hyvin.
Käännepiste on funktion ominaisuus, joten alkuun esittelen eräitä funktion perusominaisuuksia, kuten jatkuvuuden ja derivoituvuuden käsitteet, ääriarvot, sekä funktion ensimmäisen ja toisen derivaatan. Lisäksi käyn läpi funktion kuvaajaan liittyvää terminologiaa, kuten kulkusuunnan, konkaaviuden ja konveksiuden. Kuvaajan tulkinnassa esiintyy usein myös termejä kuten kriittinen piste ja stationaaripiste, joiden eroavaisuuksia pyrin tutkielmassani avaamaan.
Kappaleessa 3 esittelen käännepisteen määritelmän, sekä erilaisia tapoja määrittää käännepiste. Lisäksi käyn läpi käännepisteen luokitteluja, sekä tilanteen, jossa funktio ei ole kaikkialla jatkuva.
Kappaleessa 4 käsittelen muun muassa undulaattipisteen eron käännepisteeseen, sekä erilaisia sovellutuksia käännepisteelle. Esimerkiksi populaation kasvun tutkimisessa ja ennustamisessa käytettävässä logistisessa kasvumallissa käännepisteen merkitys on keskeinen. Lisäksi talousmatematiikassa tehdään ennusteita usein siten, että käännepisteen merkitys on mittava.
Kappaleessa 5 tutkin oppikirjojen tapaa käsitellä tutkielmassani esille nousseita derivaatan, sekä ääriarvojen käsitteitä. Kuvaajien runsas käyttö mahdollistaisi myös kaarevuussuuntien tutkimisen, ja täten osaamisen eheyttämisen. Pyrin siis tutkimaan ja pohtimaan käännepisteen käsittelyn konkreettisen toteuttamisen mahdollisuuksia lukio-opetuksessa.
Viimeisessä kappaleessa pohdin käännepisteen käsittelyn tarpeellisuutta, sekä sen käsittelyn eheyttävää vaikutusta funktion perusominaisuuksien ymmärtämiselle.
Tutkielmassani pyrin esittämään käsiteltävät asiat helppolukuisesti ja kattavasti, ja täten lisäämään mahdollisien lukijoiden osaamista ja ymmärrystä funktion kuvaajan tulkinnasta. Varsinkin matematiikan opettajien, että opettajaksi opiskelevien tulisi hallita seuraavat asiat, ja tätä pyrin tutkielmallani edesauttamaan.
