Työssä esitellään ääretönharmonisten funktioiden ominaisuuksia. Ääretönharmoniset funktiot ovat äärettömän Laplacen yhtälön viskositeettiratkaisuja. Työn päämääränä on todistaa, että ääretönharmoniset funktiot ovat derivoituvia.
Aluksi tutustutaan viskositeettiratkaisun määritelmään. Sen jälkeen esitellään vertailuperiaate kartiofunktioiden suhteen, ja osoitetaan, että ääretönharmoniset funktiot noudattavat kyseistä vertailuperiaatetta. Tällä ominaisuudella on useita hyödyllisiä seurauksia, jotka johdetaan kappaleessa 3. Erityisesti voidaan osoittaa, että funktiot, jotka noudattavat vertailuperiaatetta kartiofunktioiden suhteen ovat lokaalisti Lipschitz-jatkuvia.
Kappaleessa 4 tutkitaan muokattua versiota äärettömästä Laplacen yhtälöstä. Muokatun version etuna on se, että ratkaisujen olemassaolo, yksikäsitteisyys ja säännöllisyys seuraavat standardista kvasilineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriasta.
Kappaleessa 5 todistetaan, että ääretönharmoniset funktiot ovat derivoituvia. Sitä varten osoitetaan ensin, että ääretönharmoniselle funktiolle löydetään tangenttitaso jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä. Tangenttitason olemassaolo seuraa pitkälti kappaleessa 3 johdetuista tuloksista.
Lopuksi todistetaan, että ääretönharmonisen funktion tangenttitaso on yksikäsitteinen. Derivoituvuus seuraa suoraan tangenttitason yksikäsitteisyydestä. Kappaleen 4 tulokset muokatun version ratkaisusta ovat keskeisiä työkaluja todistettaessa tangenttitason yksikäsitteisyyttä.
