Tässä työssä syvennytään metristen avaruuksien erilaisuuden vertailuun määrittelemällä niin sanottu Gromov–Hausdorff -etäisyys, eli metristen avaruuksien välinen etäisyyskuvaus, jonka osoitetaan toteuttavan metriikan ehdot jokaisessa joukossa metristen avaruuksien ekvivalenssiluokkia. Työssä todistetaan, että metristen avaruuksien välinen Gromov–Hausdorff -etäisyys on nolla, jos ja vain jos avaruudet ovat isometrisia. Työn päätuloksena todistetaan, että jonolla tasaisesti kompakteja metrisiä avaruuksia on osajono, joka suppenee kompaktien metristen avaruksien kokoelmassa Gromov–Hausdorff -metriikalla.
Tutkielman edetessä todistetaan muita yleisiä, tutkielmassa hyödynnettäviä matemaattisia tuloksia. Näistä mainittakoon Heinen ja Borelin lause, jonka mukaan metrinen avaruus on kompakti, jos ja vain jos se on täysin rajoittunut ja täydellinen. Todistus pohjautuu metrisiin avaruuksiin pätevään jonokompaktiuden määritelmään. Lisäksi todistetaan, että jos f on tasaisesti jatkuva kuvaus metrisen avaruuden (X ,d_X) tiheältä osajoukolta A täydelliselle metriselle avaruudelle (Y, d_Y), niin on olemassa sellainen tasaisesti jatkuva kuvaus g : \overline{A} → Y, että g on kuvauksen f laajennus. Työn kannalta yksi merkittävimmistä välituloksista koskee metrisen täydellistämistä, jonka mukaan jokaisella metrisellä avaruudella (X, d) on olemassa sellainen täydellinen metrinen avaruus (Y, d^*) ja sellainen isometrinen kuvaus \varphi : X → Y, että \varphi(X) on tiheä avaruudessa Y.
